2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 8 第二课时 函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质课

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是T＝2πω吗？2．φ为何值时y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数？3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的对称轴与对称中心是什么？第二课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质一、预习教材·问题导入函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的性质定义域R值域周期性T＝奇偶性φ＝时是奇函数；时是偶函数；当φ≠kπ2(k∈Z)时是函数[－A，A]2π|ω|kπ(k∈Z)φ＝π2＋kπ(k∈Z)非奇非偶二、归纳总结·核心必记单调性单调递增区间可由得到，单调递减区间可由得到对称轴方程x＝kπω＋π－2φ2ω(k∈Z)对称性对称中心kπ－φω，0(k∈Z)2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋3π2(k∈Z)[点睛](1)对于y＝Asin(ωx＋φ)其奇偶性可由φ决定，φ取不同值可得不同的奇偶性．(2)求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω的正负．(3)y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心实质上是其图像与x轴的交点，对称轴即过最高点或最低点且与x轴垂直的直线．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不存在φ使得y＝Acos(ωx＋φ)为奇函数()(2)y＝sinx－π4的一个对称中心为π4，0()(3)y＝sin3x－π4的一个递增区间为－π4，0()(4)函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的最大值为A()×√××三、基本技能·素养培优2．函数y＝2sin3x－π2－1的一条对称轴方程是()A．x＝π6B．x＝π2C．x＝2π3D．x＝5π6解析：选C由3x－π2＝kπ＋π2(k∈Z)得x＝kπ3＋π3(k∈Z)，当k＝1时，x＝2π3，故选C.3．如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0θ2π)的最小正周期是T，且当x＝2时取得最大值，那么()A．T＝2，θ＝π2B．T＝1，θ＝πC．T＝2，θ＝πD．T＝1，θ＝π2解析：选AT＝2ππ＝2，又当x＝2时，sin(π·2＋θ)＝sin(2π＋θ)＝sinθ，要使上式取得最大值，可取θ＝π2.4．函数y＝2sinx－π6＋1的最小值为________．解析：∵x∈R，∴ymin＝－2＋1＝－1.答案：－1[典例]求函数y＝2sin2x＋π3，x∈0，π2的值域．[解]∵0≤x≤π2，∴π3≤2x＋π3≤4π3.①当2x＋π3∈π3，π2时，y＝sin2x＋π3在0，π12上是增加的，∴32≤sin2x＋π3≤1，∴3≤2sin2x＋π3≤2.考点一函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域问题②当2x＋π3∈π2，4π3时，y＝sin2x＋π3在π12，π2上是减少的，∴－32≤sin2x＋π3≤1，∴－3≤2sin2x＋π3≤2.综上所述，函数y＝2sin2x＋π3，x∈0，π2的值域为[－3，2]．[类题通法]求函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[m，n]的值域的步骤(1)换元，u＝ωx＋φ，并求u的取值范围；(2)作出y＝sinu(注意u的取值范围)的图像；(3)结合图像求出值域．[针对训练]已知函数f(x)＝asin2x＋π3＋1(a0)，当－7π12≤x≤－π12时，f(x)的最大值为2，求a的值．解：－7π12≤x≤－π12⇒－7π6≤2x≤－π6⇒－5π6≤2x＋π3≤π6⇒－1≤sin2x＋π3≤12⇒f(x)max＝12a＋1，∴12a＋1＝2，即a＝2.考点二函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质[典例](1)若f(x)＝sinωx－π6的最小正周期为π5，其中ω＞0，则ω＝()A．1B．5C．10D．20(2)已知函数f(x)＝sinωx＋π6－1最小正周期为2π3，则f(x)的图像的一条对称轴的方程是()A．x＝π9B．x＝π6C．x＝π3D．x＝π2(3)求函数y＝2sin3x＋π4＋1的单调递减区间．[解析](1)由T＝π5＝2πω，得ω＝10.(2)已知函数f(x)的最小正周期为T＝2πω＝2π3，∴ω＝3，则其对称轴方程为3x＋π6＝π2＋kπ，k∈Z，即x＝π9＋kπ3，k∈Z，当k＝0时，x＝π9，故选A.[答案](1)C(2)A(3)因为函数y＝sinx的单调递减区间为2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)，所以2kπ＋π2≤3x＋π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，解得23kπ＋π12≤x≤23kπ＋5π12(k∈Z)．故所求函数的单调递减区间为23kπ＋π12，23kπ＋5π12(k∈Z)．[类题通法](1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)关于(x0,0)中心对称⇔f(x0)＝0⇔ωx0＋φ＝kπ(k∈Z)；(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)关于直线x＝x0轴对称⇔f(x0)＝A或f(x0)＝－A⇔ωx0＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)；(3)求单调区间实际上是解不等式2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2或2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋3π2(k∈Z)．[针对训练]1．若函数f(x)＝sinx＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝()A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析：选C由y＝sinx＋φ3是偶函数知φ3＝π2＋kπ，k∈Z，即φ＝3π2＋3kπ，k∈Z，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.2．在函数y＝2sin4x＋2π3的图像的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．解析：由4x＋2π3＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ4－π6(k∈Z)，∴函数y＝2sin4x＋2π3的图像的对称中心坐标为kπ4－π6，0(k∈Z)．取k＝1，得π12，0满足条件．答案：π12，0[典例]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M3π4，0对称，且在区间0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．[解]由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图像关于y轴对称，∴f(x)在x＝0时取得最值．即sinφ＝±1.依题设0≤φ≤π，∴解得φ＝π2.考点三y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用由f(x)的图像关于点M对称，可知sin3π4ω＋π2＝0，解得ω＝4k3－23，k∈Z.又f(x)在0，π2上是单调函数，所以T≥π，即2πω≥π，∴ω≤2.又ω0，∴当k＝1时，ω＝23；当k＝2时，ω＝2.∴φ＝π2，ω＝2或ω＝23.[类题通法]函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用的注意点(1)对于平移问题，应特别注意要提取x的系数，即将ωx＋φ变为ωx＋φω后再观察x的变化．(2)对于对称性、单调性问题应特别注意将ωx＋φ看作整体，代入一般表达式解出x的值．(3)对于值域问题同样是将ωx＋φ看作整体，不同的是根据x的范围求ωx＋φ的范围，再依据图像求值域．(4)对于奇偶性问题，由φ来确定，φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数，φ＝kπ＋π2(k∈Z)时是偶函数．[针对训练]已知函数f(x)＝3sin12x＋φφ∈0，π2的图像的一条对称轴是直线x＝π4.(1)求φ值；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间和对称中心．解：(1)∵x＝π4是f(x)的图像的一条对称轴，∴sin12×π4＋φ＝±1，∴π8＋φ＝kπ＋π2，k∈Z.∵0＜φ＜π2，∴φ＝3π8.(2)由(1)知y＝3sin12x＋3π8.由题意得2kπ－π2≤12x＋3π8≤2kπ＋π2，k∈Z，即4kπ－7π4≤x≤4kπ＋π4，k∈Z，∴函数f(x)的单调增区间为4kπ－7π4，4kπ＋π4(k∈Z)．由12x＋3π8＝kπ(k∈Z)得x＝2kπ－3π4(k∈Z)，故该函数的对称中心为2kπ－3π4，0(k∈Z)．