2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 6 余弦函数的图像与性质课件 北师大版必修4

1．用五点法作余弦函数图像，五点是指哪五点？2．余弦函数的定义域、值域与正弦函数相同吗？3．余弦函数的奇偶性如何判断？4．余弦函数的单调区间是什么？5．余弦函数的最小正周期是多少？§6余弦函数的图像与性质一、预习教材·问题导入1．余弦函数的图像(1)余弦函数y＝cosx的图像可以通过将正弦曲线y＝sinx____________________得到．(2)余弦函数y＝cosx(x∈R)的图像叫作．图像如图所示：向左平移π2个单位长度余弦曲线二、归纳总结·核心必记(3)用五点法作余弦函数的图像，余弦曲线上有五个点起关键作用，这五个点是，，，，．[点睛]作余弦函数图像的五点是当x分别取0，π2，π，3π2，2π时所对应的五点，不能随意选取，描出五点后，连线时，要保持曲线平滑，并注意凹凸方向．(0,1)π2，0(π，－1)3π2，0(2π，1)2．余弦函数的性质函数y＝cosx定义域值域奇偶性偶函数周期性以为周期，为最小正周期R[－1,1]2kπ(k∈Z，k≠0)2π函数y＝cosx单调性在上是增加的；在上是减少的最大值与最小值当x＝(k∈Z)时，最大值为；当x＝(k∈Z)时，最小值为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)2kπ12kπ＋π－11．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝cosx的图像与函数y＝sinx的图像的形状完全一样，只是位置不同()(2)y＝cosx的图像与x轴有无数个交点()(3)y＝cosx的图像关于y轴对称()√√√三、基本技能·素养培优2．要得到函数y＝－sinx的图像，只需将函数y＝cosx的图像()A．向右平移π2个单位长度B．向右平移π个单位长度C．向左平移π2个单位长度D．向左平移π个单位长度解析：选C作出两函数的图像知C正确．3．函数y＝2－3cosx的递减区间是()A．[0，π]B．[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)C．[π，2π]D．[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)解析：选D函数y＝2－3cosx的递减区间即函数y＝－cosx的递减区间，也即函数y＝cosx的递增区间，即[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)．4．若函数f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数，则下列数值：①π4，②π2，③π，④2π中，φ的可能取值是________(填序号)．解析：由题意得φ＝π2＋kπ(k∈Z)，仅有②满足．答案：②[典例]用“五点法”作出函数y＝2cosx－1，x∈[0,2π]的图像．[解]列表：x0π2π3π22πy＝cosx10－101y＝2cosx－11－1－3－11考点一余弦函数的图像描点画图(如图所示)．[类题通法](1)画余弦函数的图像，与画正弦函数图像的方法一样，关键要确定五个点．这五个点的坐标是(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．(2)形如y＝acosx＋b，x∈[0,2π]的函数，也可由五点法画图像．解：①列表：x0π2π3π22πy＝cosx10－101y＝1－13cosx23143123用“五点法”作出函数y＝1－13cosx在[－2π，2π]上的图像．[针对训练]②作出y＝1－13cosx在x∈[0,2π]上的图像．由于该函数为偶函数，作关于y轴对称的图像．从而得出y＝1－13cosx在x∈[－2π，2π]上的图像．如图所示：[典例](1)求f(x)＝2cosx－1的定义域．(2)求下列函数的值域．①y＝－2cosx－1；②y＝cosx2cosx＋1；③y＝cos2x－3cosx＋2.考点二余弦函数的定义域、值域问题[解](1)由2cosx－1≥0知cosx≥12，作出y＝cosx在x∈[－π，π]的图像知2kπ－π3≤x≤2kπ＋π3，k∈Z，∴定义域为x2kπ－π3≤x≤2kπ＋π3，k∈Z.(2)①[直接法]∵－1≤cosx≤1，∴－2≤－2cosx≤2，∴－3≤－2cosx－1≤1.∴函数y＝－2cosx－1的值域为[－3,1]．②[反解法]由y＝cosx2cosx＋1可得(1－2y)cosx＝y，cosx＝y1－2yy≠12，∵|cosx|≤1，∴cos2x≤1，∴y21－2y2≤1，即3y2－4y＋1≥0，∴y≤13或y≥1.∴函数y＝cosx2cosx＋1的值域为－∞，13∪[1，＋∞)．③[换元法]令t＝cosx，∵x∈R，∴t∈[－1,1]．∴原函数可化为y＝t2－3t＋2＝t－322－14，易知该二次函数的图像开口向上，且对称轴为直线t＝32，∴t∈[－1,1]为二次函数的单调递减区间．∴t＝－1时，ymax＝6；t＝1时，ymin＝0.∴函数y＝cos2x－3cosx＋2的值域为[0,6]．[类题通法](1)求与余弦函数有关的定义域时注意结合余弦函数的图像．(2)与余弦函数有关的值域的求法．①直接法．利用y＝cosx的有界性或已知x的范围求y＝cosx的值域．②反解法．也是利用有界性，但是要把函数反解成cosx＝g(y)的形式，再用－1≤g(y)≤1，解得y的范围．③换元法．令t＝cosx，整体换元，换元后的函数必定是我们所熟悉的函数，比如一次函数、二次函数、对数函数等．[针对训练]1．函数y＝cosx＋π6，x∈0，π2的值域是()A.－32，12B.－12，32C.32，1D.12，1解析：∵0≤x≤π2，∴π6≤x＋π6≤2π3.∵y＝cosx在[0，π]上为减函数，∴－12≤cosx＋π6≤32.答案：B2．求y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈π3，2π3的最值．解：y＝3cos2x－4cosx＋1＝3cosx－232－13.∵x∈π3，2π3，cosx∈－12，12，从而当cosx＝－12，即x＝2π3时，ymax＝154；当cosx＝12时，即x＝π3时，ymin＝－14.∴原函数在区间π3，2π3上的最大值为154，最小值为－14.[典例]已知f(x)＝2＋cosx.(1)判断函数的奇偶性；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最小正周期．[解](1)∵f(x)＝2＋cosx的定义域为R且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)＝2＋cosx为偶函数．(2)∵y＝cosx在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的，考点三余弦函数的性质问题∴y＝2＋cosx的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．(3)由cosx的周期性知y＝2＋cosx的最小正周期为2π.[类题通法]求解与余弦函数性质有关的问题应注意两点(1)熟记有关余弦函数性质及其结论．(2)注意结合图像进行判断求解．[针对训练]1．函数y＝cos2x的最小正周期为________．解析：令z＝2x，∴f(x)＝cos2x＝cosz＝cos(z＋2π)＝cos(2x＋2π)＝cos[2(x＋π)]，即f(x＋π)＝f(x)，∴T＝π.答案：π2．f(x)＝x·sin3π2＋x的奇偶性为________．解析：此函数的定义域R关于原点对称，且f(x)＝x－sinπ2＋x＝x·(－cosx)＝－xcosx，∴f(－x)＝－(－x)cos(－x)＝xcosx＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．答案：奇函数3．比较下列各组数的大小．(1)cos－π18，cosπ10；(2)coscos3π8，cossin3π8.解：(1)cos－π18＝cosπ18.∵0＜π18＜π10＜π，而y＝cosx在[0，π]上单调递减，∴cosπ18＞cosπ10，即cos－π18＞cosπ10.(2)cos3π8＝sinπ8.∵0＜π8＜3π8＜π2，且y＝sinx在0，π2上单调递增，∴sinπ8＜sin3π8，即0＜cos3π8＜sin3π8＜1.而y＝cosx在(0,1)上单调递减，∴coscos3π8＞cossin3π8.