2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 5 5.2 正弦函数的性质课件 北师大版必修4

5．2正弦函数的性质1．正弦函数取得最大值时x的值是什么？2．正弦函数的单调区间是什么？3．怎样判断正弦函数是奇函数？一、预习教材·问题导入正弦函数y＝sinx的性质函数y＝sinx定义域值域周期性最小正周期为最值当x＝，k∈Z时，ymax＝1当x＝，k∈Z时，ymin＝－1R[－1,1]2π2kπ＋π22kπ－π2二、归纳总结·核心必记函数y＝sinx单调性在每一个闭区间上是增加的，在上是减少的，k∈Z奇偶性2kπ－π2，2kπ＋π2π2＋2kπ，3π2＋2kπ奇函数[点睛](1)利用正弦函数的周期性，可把正弦函数在一个周期内的性质，延拓到整个定义域上，这为研究函数的性质提供了很大的方便．(2)单调区间－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)表示的是一个个区间，即…，－π2，π2，3π2，5π2，…，而不表示成…∪－π2，π2∪3π2，5π2∪….要特别与集合表示x－π2＋2kπ≤x≤π2＋2kπ，k∈Z区别开来．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝2－sinx的最小正周期为2π()(2)函数y＝cosx－π2为奇函数()(3)当且仅当x＝－π2时，y＝3－sinx取最大值()√√×三、基本技能·素养培优2．函数y＝sinx的一条对称轴是()A．x＝π2B．x＝π4C．x＝0D．x＝π解析：选A由图像知正弦函数的对称轴为x＝π2＋kπ(k∈Z)．3．函数y＝|sinx|的一个单调增区间是()A.－π4，π4B.π4，3π4C.π，3π2D.3π2，2π解析：选C通过观察y＝|sinx|的图像可得．4．函数y＝1－2sinx的最大值为________．解析：当且仅当sinx＝－1时，ymax＝3.答案：3[典例](1)求函数y＝2sinx＋3的定义域．(2)求下列函数的值域．①y＝－2sinx＋1；②y＝sinxsinx＋2；③y＝－2sin2x＋5sinx－2.考点一正弦函数的定义域、值域问题[解](1)要使函数有意义，只需2sinx＋3≥0，即sinx≥－32.如图所示，在区间－π2，3π2上，适合条件的x的取值范围是－π3≤x≤4π3.所以该函数的定义域是2kπ－π3，2kπ＋4π3，k∈Z.(2)①[直接法]∵－1≤sinx≤1，∴－2≤－2sinx≤2.－1≤－2sinx＋1≤3，即－1≤y≤3，∴值域为[－1,3]．②[反解法]原式可化为ysinx＋2y＝sinx，∴sinx·(y－1)＝－2y，∴sinx＝2y1－y，∵－1≤sinx≤1，∴－1≤2y1－y≤1.解得－1≤y≤13，故函数y＝sinxsinx＋2的值域为－1，13.③[换元法]y＝－2sin2x＋5sinx－2＝－2sinx－542＋98.∵－1≤sinx≤1，∴ymin＝－2×(－1)2＋5×(－1)－2＝－9，ymax＝－2×12＋5×1－2＝1.故函数y＝－2sin2x＋5sinx－2的值域是[－9,1]．[类题通法](1)求定义域时，常利用数形结合，根据正弦曲线写出相应方程或不等式的解集．注意灵活选择一个周期的图像．(2)与正弦函数有关的值域求法常见的有直接法、反解法、换元法．[针对训练]1．函数f(x)＝ln(1－2sinx)的定义域为____________．解析：要使函数有意义只需1－2sinx＞0，即sinx＜22.在区间π2，5π2上，适合条件的x的取值范围是3π4＜x＜9π4.所以该函数的定义域为x2kπ＋3π4＜x＜2kπ＋9π4，k∈Z.答案：x2kπ＋3π4＜x＜2kπ＋9π4，k∈Z2．函数y＝2sin2x＋π3－π6≤x≤π6的最大值为________，最小值为________．解析：∵－π6≤x≤π6，∴0≤2x＋π3≤2π3，∴0≤sin2x＋π3≤1.∴当sin2x＋π3＝1时，ymax＝2；当sin2x＋π3＝0时，ymin＝0.答案：203．求下列函数的值域．(1)y＝sin2x－sinx；(2)y＝|sinx|＋sinx.解：(1)y＝sin2x－sinx＝sinx－122－14.∵－1≤sinx≤1，∴当sinx＝12时，y取最小值为－14；当sinx＝－1时，y取最大值为2.∴y＝sin2x－sinx的值域为－14，2.(2)当sinx≥0时，|sinx|＝sinx；当sinx＜0时，|sinx|＝－sinx，∴原式可化为y＝2sinxsinx≥0，0sinx＜0.由－1≤sinx≤1，可知0≤y≤2，∴函数y＝|sinx|＋sinx的值域是[0,2].[典例](1)判断下列函数的奇偶性．①f(x)＝xsin(π＋x)；②f(x)＝2sinx－1.(2)求下列函数的最小正周期．①f(x)＝sin2x；②f(x)＝|sinx|.考点二正弦函数的周期性与奇偶性问题[解](1)①f(x)＝－xsinx，定义域为R.∵f(－x)＝xsin(－x)＝－xsinx＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．②由2sinx－1≥0，得sinx≥12，∴x∈2kπ＋π6，2kπ＋5π6(k∈Z)．∴函数f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数．(2)①∵sin2(x＋π)＝sin(2x＋2π)＝sin2x，∴f(x)＝sin2x的最小正周期为π.②作出f(x)＝|sinx|的图像，观察知最小正周期T＝π.[类题通法]1．判断函数奇偶性的方法2．求三角函数的周期，通常有三种方法(1)定义法．(2)公式法．对于y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝2π|ω|；(3)观察法(图像法)．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数的次数为1.[针对训练]1．函数y＝2sin2x的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既奇函数又偶函数D．非奇非偶解析：选Af(－x)＝2sin(－2x)＝－2sin2x＝－f(x)．2．函数y＝12－sin3x的最小正周期为________．解析：利用定义或作出图像知T＝2π3.答案：2π3考点三正弦函数的单调性问题[典例]求下列函数的单调增区间．(1)y＝2sin(－x)；(2)y＝a＋bsinx(a，b∈R且b≠0)．[解](1)y＝2sin(－x)＝－2sinx，∴函数y＝2sin(－x)的递增区间就是函数u＝2sinx的递减区间．∴函数y＝2sin(－x)的递增区间为2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．(2)∵y＝sinx的单调递增区间为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，减区间为2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．∴当b0时，y＝a＋bsinx的单调递增区间为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)；当b0时，y＝a＋bsinx的单调增区间为2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．[类题通法](1)利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时，需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内．(2)已知正弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解．[针对训练]1．(求单调区间)求函数y＝sin(－x)的单调递增区间．解：∵y＝sin(－x)＝－sinx，且函数y＝sinx在－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是增加的，在π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是减少的，∴函数y＝sin(－x)的单调增区间为π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)．2．比较大小：(1)sin4π7与sin19π7；(2)sin－13π5与sin19π5.解：(1)∵sin19π7＝sin2π＋5π7＝sin5π7，y＝sinx在x∈π2，π上是减少的，且π2＜4π7＜5π7＜π，∴sin4π7＞sin5π7.即sin4π7＞sin19π7.(2)∵sin－13π5＝－sin2π＋3π5＝－sin3π5＝－sinπ－2π5＝－sin2π5，sin19π5＝sin4π－π5＝－sinπ5.函数y＝sinx在0，π2上是增加的，且0＜π5＜2π5＜π2，所以sinπ5＜sin2π5，－sinπ5＞－sin2π5.即sin－13π5＜sin19π5.3．(求参数范围)若函数y＝sinx在[0，a]上为增函数，则a的取值范围为________．解析：由函数y＝sinx的图像(图略)可知，函数y＝sinx在0，π2上为增函数，∴[0，a]⊆0，π2，∴0＜a≤π2.答案：0，π2