2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 4 4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质

4．3&4.4单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式1．正弦、余弦函数的定义域、值域各是什么？2．正弦函数的递增区间与递减区间是什么？3．角α与－α，角α与α±π，角α与π－α的正弦函数、余弦函数的关系是什么？4．角α与π2＋α的正弦函数、余弦函数关系是什么？一、预习教材·问题导入1．正弦函数、余弦函数的基本性质y＝sinxy＝cosx定义域值域最大(小)值最大值，最小值最大值，最小值周期性T＝T＝RR[－1,1][－1,1]11－1－12π2π二、归纳总结·核心必记y＝sinxy＝cosx单调性在区间2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上是增加的，在区间2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)上是减少的在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的2．诱导公式sin(2kπ＋α)＝(k∈Z)cos(2kπ＋α)＝(k∈Z)sin(－α)＝cos(－α)＝sin(2π－α)＝cos(2π－α)＝sin(π－α)＝cos(π－α)＝sin(π＋α)＝cos(π＋α)＝sinπ2＋α＝cosπ2＋α＝sinπ2－α＝cosπ2－α＝sinα－sinα－sinαsinα－sinαcosαcosαsinα－cosα－cosαcosαcosα－sinαcosα[点睛]记忆诱导公式的方法：奇变偶不变，符号看象限．(1)函数名不变，符号看象限“函数名不变，符号看象限”指的是对于角2kπ＋α(k∈Z)，－α，2π－α，π－α，π＋α的三角函数值等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．(2)函数名改变，符号看象限“函数名改变，符号看象限”指的是对于角kπ2＋α，kπ2－α(k为奇数)的函数值等于角α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝2sinx的最小正周期为2π()(2)y＝－cosx在[0，π]内为减函数()(3)sin(α－π)＝－sinα()(4)cosα－π2＝－sinα()×√×√三、基本技能·素养培优2．下面式子正确的是()A．sin(π－α)＝－sinαB．cos(π＋α)＝cosαC．cosπ2＋α＝sinαD．sin(2π＋α)＝sinα解析：选Dsin(π－α)＝sinα，故A不正确；cos(π＋α)＝－cosα，故B不正确；cosπ2＋α＝－sinα，故C不正确；易知D正确．3．已知cos(π＋α)＝－35，则sin3π2＋α等于()A.35B．－45C.45D．－35解析：选Dcos(π＋α)＝－cosα＝－35，则cosα＝35，sin3π2＋α＝－sinπ2＋α＝－cosα＝－35.4．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213.答案：1213[典例](1)求下列函数的单调区间：①y＝sinx，x∈－π6，5π6；②y＝cosx，x∈－π2，3π2.(2)求下列函数的值域：①y＝sinx，x∈－π3，5π6；②y＝－2cosx，x∈π6，4π3.考点一正、余弦函数的性质应用[解](1)①y＝sinx在区间－π6，π2上是增加的，在区间π2，5π6上是减少的．②y＝cosx在区间－π2，0上是增加的，在区间[0，π]上是减少的，在区间π，3π2上是增加的．(2)①函数y＝sinx在区间－π3，π2上是增加的，在区间π2，5π6上是减少的．又sinπ2＝1，sin－π3＝－32，sin5π6＝12，故函数的值域为－32，1.②函数y＝cosx在区间π6，π上是减少的，在区间π，4π3上是增加的，又cosπ＝－1，cosπ6＝32，cos4π3＝－12，故函数y＝cosx的值域为－1，32.所以函数y＝－2cosx的值域为(－3，2]．[类题通法]研究正、余弦函数基本性质的方法先找到角x的终边，然后画出终边与单位圆的交点，由交点的横、纵坐标的取值范围可分别得到余弦、正弦函数的值域，由角的终边逆时针旋转，横、纵坐标的增大或减少来分别判断余弦、正弦函数的单调性．[针对训练]求函数y＝sinx，x∈－π6，2π3的最大值、最小值及单调区间．解：因为函数y＝sinx在－π6，π2上是增加的，在π2，2π3上是减少的，所以函数y＝sinx，x∈－π6，2π3的单调递增区间是－π6，π2，单调递减区间是π2，2π3.当x＝π2时，ymax＝1；当x＝－π6时，ymin＝－12.考点二利用诱导公式求值[典例](1)求sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)的值；(2)已知cosπ6－α＝m(|m|≤1)，求cos5π6＋α，sin2π3－α的值；(3)已知sinπ2－α＝－13，求cos(5π＋α)的值．[解](1)原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝32×32＋12×12＝1.(2)cos5π6＋α＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α＝－m.sin23π－α＝sinπ2＋π6－α＝cosπ6－α＝m.(3)∵sinπ2－α＝－13∴cosα＝－13∴cos(5π＋α)＝cos[4π＋(π＋α)]＝cos(π＋α)＝－cosα＝－－13＝13.[类题通法]解决条件求值问题的常见思路是：寻找已知条件与所求问题之间的关系，特别是寻找角与角之间的关系，然后利用有关的诱导公式求解．另外要善于发现已知角与待求角之间的互余、互补关系．常见的互余关系有：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．常见的互补关系有：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ，π6－θ与5π6＋θ等．[针对训练]1．(1)已知cosπ2＋α＝－0.3，则sin(2π－α)＝________；(2)已知cosπ6－α＝22，则cos5π6＋α＝________；(3)已知sinπ3－α＝13，则cosπ6＋α＝________.解析：(1)由cosπ2＋α＝－sinα＝－0.3，得sinα＝0.3.所以sin(2π－α)＝－sinα＝－0.3.(2)cos5π6＋α＝cosπ－π6＋α＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α＝－22.(3)因为π3－α＋π6＋α＝π2，所以cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α＝sinπ3－α＝13.答案：(1)－0.3(2)－22(3)132．已知sinπ6＋α＝33，求cos10π3－α的值．解：∵103π－α＝3π＋π3－α∴cos103π－α＝cos3π＋π3－α＝－cosπ3－α又∵π6＋α＋π3－α＝π2.∴cos10π3－α＝－cosπ2－π6＋α＝－sinπ6＋α＝－33.[典例]化简：sinθ－5πcos3π－θ·cosπ2－θsinθ－3π·cos8π－θsin－θ－4π.[解]原式＝－sin5π－θcosπ－θ·sinθ－sin3π－θ·cosθ－sin4π＋θ＝－sinπ－θ－cosθ·sinθ－sinπ－θ·cosθ－sinθ＝－sinθ－cosθ·sinθ－sinθ·cosθ－sinθ＝1.考点三利用诱导公式化简求值[类题通法]利用诱导公式化简三角函数式的一般步骤(1)用“－α”公式化为正角的三角函数；(2)用“2kπ＋α”公式化为[0,2π)范围内的角的三角函数；(3)用“π±α”“2π±α”或“π2±α”公式化为锐角的三角函数．[针对训练]设k为整数，化简：sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α.解：法一：当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝sin2mπ－αcos[2m－1π－α]sin[2m＋1π＋α]cos2mπ＋α＝sin－αcosπ＋αsinπ＋αcosα＝－sinα－cosα－sinαcosα＝－1.当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，则原式＝sin[2m＋1π－α]cos2mπ－αsin[2m＋2π＋α]cos[2m＋1π＋α]＝sinπ－αcos－αsinαcosπ＋α＝sinαcosαsinα－cosα＝－1.综上可得，原式＝－1.法二：由(kπ＋α)＋(kπ－α)＝2kπ，[(k－1)π－α]＋[(k＋1)π＋α]＝2kπ，得sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)，cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)．又sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，故原式＝－sinkπ＋α[－coskπ＋α][－sinkπ＋α]coskπ＋α＝－1.