2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 3 弧度制课件 北师大版必修4

1．1弧度角是如何定义的？2．角的度量有哪两种方法？3．弧度制下扇形的弧长与面积公式如何表示？§3弧度制一、预习教材·问题导入1．1弧度角的规定在单位圆中，的弧所对的圆心角称为1弧度角，它的单位符号是，读作．长度为1[点睛](1)1rad等于半径长的圆弧所对的圆心角，而1°等于圆周的1360所对的圆心角．(2)不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值．弧度rad二、归纳总结·核心必记(3)以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”通常省略不写，但以度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不能省略．2．弧度制一般地，正角的弧度数是一个；负角的弧度数是一个；零角的弧度数是.这种以作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制．正数负数0弧度3．角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝rad2πrad＝180°＝radπrad＝1°＝rad≈rad1rad＝°≈2π360°π180°0.0174557°18′π180180π4．弧长公式设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角弧度数，n为圆心角角度数，则度量单位类别角度制弧度制扇形的弧长l＝l＝扇形的面积S＝|n|360πr2S＝12lr＝12|α|r2|n|πr180|α|r[点睛](1)在应用扇形面积公式S＝12|α|r2时，要注意α的单位是“弧度”．(2)在运用公式时，根据已知条件，选择合适的公式代入．(3)在弧度制下的扇形面积公式S＝12lr，与三角形面积公式S＝12ah(其中h是三角形底边a上的高)的形式较相似，可类比记忆．(4)由α，r，l，S中任意的两个量可以求出另外的两个量．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1弧度是长度等于半径的弧()(2)1弧度是1°的圆心角所对的弧()(3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．()(4)第一象限角可表示为α2kπ＜α＜2kπ＋π2，k∈Z()√××√三、基本技能·素养培优2.8π5弧度化为角度是()A．278°B．280°C．288°D．318°解析：选C∵1rad＝180π°，∴8π5＝8π5×180π°＝288°.3．半径为1cm，圆心角为150°的角所对的弧长为()A.23cmB.2π3cmC.56cmD.5π6cm解析：选D∵α＝150°＝5π6rad，∴l＝α·r＝5π6cm.4．已知扇形的周长是8cm，圆心角为2rad，则扇形的弧长为________cm.解析：设扇形的弧长、半径、圆心角分别为lcm，rcm，θrad，则l＝rθ＝2r.由l＋2r＝8，即2l＝8，得l＝4.即扇形的弧长为4cm.答案：4[典例]设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝4π5，β2＝－11π6.(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角．考点一角度与弧度的互化[解](1)∵1°＝π180rad，∴α1＝510°＝510×π180＝176π，α2＝－750°＝－750×π180＝－256π.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限．(2)β1＝4π5＝4π5×180°π＝144°.设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)．∵－360°≤θ1＜360°，∴－360°≤k·360°＋144°＜360°.∴k＝－1或k＝0.∴在－360°～360°范围内与β1终边相同的角是－216°.β2＝－11π6＝－11π6×180°π＝－330°.设θ2＝k·360°－330°(k∈Z)．∵－360°≤θ2＜360°，∴－360°≤k·360°－330°＜360°.∴k＝0或k＝1.∴在－360°～360°范围内与β2终边相同的角是30°.[类题通法]角度与弧度的互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式πrad＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×180°π＝度数．[针对训练]将下列角度与弧度进行互化：(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.解：(1)20°＝20×π180rad＝π9rad.(2)－15°＝－15×π180rad＝－π12rad.(3)7π12rad＝712×180°＝105°.(4)－11π5rad＝－115×180°＝－396°.[典例]如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合．考点二用弧度制表示终边相同的角[解](1)如图(1)所示，以OB为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，于是，所求集合S＝θ2kπ－π6＜θ＜2kπ＋5π12，k∈Z.(2)如图(2)所示，以OB为终边的角为225°，可看成是－135°，化为弧度，即－3π4，而135°＝135×π180＝3π4，于是，所求集合S＝θ2kπ－3π4≤θ≤2kπ＋3π4，k∈Z.[类题通法]在弧度制下写出终边相同的角并判断角所在象限的方法和步骤(1)在弧度制下，与α终边相同的角的集合为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，其中α的单位是弧度．(2)确定α所在象限的常用步骤：先把它化成2kπ＋θ(0≤θ＜2π，k∈Z)的形式，再判断θ所在的象限即可．[针对训练]已知角α＝－2020°.(1)将α改写成φ＋2kπ(k∈Z,0≤φ＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)在区间[－2π，4π)上找出与α终边相同的角．解：(1)因为α＝－2020°＝－6×360°＋140°，且140°＝140×π180＝7π9，所以α＝－12π＋7π9，故α是第二象限角．(2)与α终边相同的角可表示为θ＝2kπ＋7π9，k∈Z，又－2π≤θ＜4π，所以k＝－1,0,1，将k的值分别代入θ＝2kπ＋7π9，k∈Z，得θ＝－11π9，7π9，25π9.[典例]解答下列各题：(1)已知扇形的面积为1cm2，它的周长为4cm，求它的圆心角；(2)已知半径为10的⊙O中，弦AB的长为10.求弦AB所对的圆心角α的弧度值．考点三扇形的弧长与面积公式的应用[解](1)设扇形的弧长为l，半径为r，则l＝4－2r.∵S扇形＝12l·r，∴12(4－2r)·r＝1，∴r＝1，l＝2.故它的圆心角的弧度数为α＝lr＝2(rad)．(2)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，所以α＝∠AOB＝60°＝π3.[类题通法]弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝12lr＝12|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．[针对训练]1．[变设问]若题(2)中条件不变，改为求α所在扇形的弧长l.解：∵α＝π3，r＝10，∴l＝αr＝10π3.2．[变条件]若题(2)中条件“弦AB的长为10”变为“扇形AO的周长等于所在圆的周长”，求扇形的圆心角α的弧度值．解：由条件知2π×10＝2×10＋l，∴l＝20(π－1)，∴α＝lr＝20π－110＝2(π－1)．3．扇形的周长C一定时，它的圆心角θ取何值才能使该扇形的面积S最大，最大值是多少？解：设扇形的半径为R，则扇形的弧长为C－2R，∵S＝12(C－2R)×R＝－R2＋C2R＝－(R－C4)2＋(C4)2，∴当R＝C4，即θ＝C－2RR＝2时，扇形有最大面积C216.