2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象课件 新

考试标准课标要点学考要求高考要求φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响bc简谐运动y＝Asin(ωx＋φ)；x∈[0，＋∞)(ω0，A0)有关物理量aa知识导图学法指导1.注意所有的变换是图象上的点在移动，是x或y在变化，而非ωx，故若x前面有系数要先提取出来．2．用整体代换的思想，令ωx＋φ＝t，借助y＝sint的图象及性质求解应用．3．继续加深理解五点法的应用，特别是非正常周期的特殊点：端点和对应五点.1.A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响(2)ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响(3)A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响状元随笔(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系.(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．(4)由y＝sinx到y＝sin(x＋φ)的图象变换称为相位变换；由y＝sinx到y＝sinωx的图象变换称为周期变换；由y＝sinx到y＝Asinx的图象变换称为振幅变换．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A0，ω0中各参数的物理意义3．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A0，ω0的有关性质(1)定义域：____.(2)值域：_______．(3)周期性：T＝____.(4)对称性：对称中心kπ－φω，0，对称轴是直线x＝kπω＋π－2φ2ω(k∈Z)．(5)奇偶性：当φ＝0时是奇函数．(6)单调性：通过整体代换可求出其单调区间．R[－A，A]2πω状元随笔研究函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的基本策略(1)借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数．(2)整体思想：研究当x∈[α，β]时的函数的值域时，应将ωx＋φ看作一个整体θ，利用x∈[α，β]求出θ的范围，再结合y＝sinθ的图象求值域．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝sinx＋π3的图象向左平移π3个单位得到函数y＝sinx的图象．()(2)函数y＝sinx＋π3的图象上点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin2x＋π3的图象．()(3)由函数y＝sinx＋π3的图象到函数y＝2sinx＋π3的图象，需要将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍．()××√2．利用“五点法”作函数y＝sin12x，x∈[0,2π]的图象时，所取的五点的横坐标为()A．0，π2，π，3π2，2πB．0，π4，π2，3π4，πC．0，π，2π，3π，4πD．0，π6，π3，π2，2π3解析：令12x＝0，π2，π，3π2，2π得，x＝0，π，2π，3π，4π.答案：C3．函数f(x)＝sinx＋π4图象的一条对称轴方程为()A．x＝－π4B．x＝π4C．x＝π2D．x＝π解析：对于函数f(x)＝sinx＋π4，令x＋π4＝kπ＋π2，k∈Z，求得x＝kπ＋π4，k∈Z，可得它的图象的一条对称轴为x＝π4，故选B.答案：B4．将函数y＝sin3x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)可得到函数________的图象．解析：将函数y＝sin3x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)可得，函数y＝sin(3×3x)＝sin9x的图象．答案：y＝sin9x类型一“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象例1用“五点法”画函数y＝2sin3x＋π6的简图．【解析】先画函数在一个周期内的图象．令X＝3x＋π6，则x＝13X－π6，列表：X0π2π32π2πx－π18π9518π49π1118πy020－20描点作图，再将图象左右延伸即可．利用五点法作图，先换元再列举、描点，最后用平滑的曲线连线．方法归纳五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)图象的步骤．(1)列表，令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，依次得出相应的(x，y)值．(2)描点．(3)连线得函数在一个周期内的图象．(4)左右平移得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象.跟踪训练1已知函数y＝2sinx2＋π6.(1)试用“五点法”画出它的图象；(2)求它的振幅、周期和初相．解析：(1)令t＝x2＋π6，列表如下：x－π32π35π38π311π3t0π2π3π22πy020－20描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象：(2)振幅A＝2，周期T＝4π，初相为π6.换元→列表求值→描点画图类型二三角函数的图象变换例2由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换，可以得到函数y＝－2sin2x－π6＋1的图象．【解析】方法一y＝sinx的图象――――――――→所有点的纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变y＝2sinx的图象y＝－2sinx的图象y＝－2sin2x的图象y＝－2sin2x－π6的图象―――――――→向上平移1个单位长度y＝－2sin2x－π6＋1的图象．方法二y＝sinx的图象y＝sinx－π6的图象y＝sin2x－π6的图象――――――→关于x轴作对称变换y＝－sin2x－π6的图象――――――――――――→各点的纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变y＝－2sin2x－π6的图象―――――――→向上平移1个单位长度y＝－2sin2x－π6＋1的图象.本题考查三角函数的图象变换问题，可以从先“平移变换”或先“伸缩变换”两种不同变换顺序的角度去考虑，得到答案．方法归纳解决三角函数图象变换问题的关键是明确左右平移的方向和平移量以及横纵坐标伸缩的量，在变换中平移变换与伸缩变换的顺序不同得到解析式也不同，这点应特别注意，否则就会出错．跟踪训练2由函数y＝cosx的图象如何得到函数y＝－2cos2x＋π6＋2的图象．解析：y＝－2cos2x＋π6＋2＝2cos2x＋7π6＋2＝2cos2x＋712π＋2.方法一y＝cosxy＝cosx＋76πy＝cos2x＋76π――――――――――→各点纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变y＝2cos2x＋76πy＝2cos2x＋76π＋2.方法二y＝cosxy＝cos2xy＝cos2x＋76π――――――――→各点纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变y＝2cos2x＋76πy＝2cos2x＋76π＋2.一种方法是先平移，后伸缩；另一种方法是先伸缩，后平移．两种变换方法中向右平移的单位长度是不同的即7π6和7π12，但得到的结果是一致的．类型三三角函数解析式例3如图所示，它是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，－πφπ)的图象，则该函数的解析式为________．【解析】解法一(单调性法)由图象可知：A＝2，T＝5π2－－π2＝3π＝2πω，则ω＝23.∵点(π，0)在递减的那段图象上，∴2π3＋φ∈π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)，则由sin2π3＋φ＝0，得2π3＋φ＝(2k＋1)π(k∈Z)．∵－πφπ，∴φ＝π3.∴该函数的解析式为y＝2sin23x＋π3.解法二(最值点法)由图象可得T＝3π，A＝2，则ω＝23，将最高点坐标π4，2代入y＝2sin23x＋φ，得2sinπ6＋φ＝2，∴π6＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋π3(k∈Z)．又－πφπ，∴φ＝π3.∴该函数的解析式为y＝2sin23x＋π3.解法三(起始点法)由题图得T＝3π，A＝2，故ω＝23，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x0正是由ωx0＋φ＝0解得的，故只要找出起始点的横坐标x0，就可以迅速求得角φ.由图象求得ω＝23，x0＝－π2，φ＝－ωx0＝－23×－π2＝π3.∴该函数的解析式为y＝2sin23x＋π3.解法四(图象平移法)由图象知，将函数y＝2sin23x的图象沿x轴向左平移π2个单位长度，就得到本题的图象，故所求函数的解析式为y＝2sin23x＋π2，即y＝2sin23x＋π3.【答案】y＝2sin23x＋π3观察图象，求出A、ω、φ，解法一单调性法，解法二最值点法，解法三起始点法，解法四图象平移法．方法归纳根据三角函数的图象求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的解析式，一般先结合图形求得振幅和周期，从而求得A，ω；再利用特殊点、零点或最值点列出关于φ的方程求出φ值，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的零点有上升零点和下降零点，一般取最靠近原点的上升零点x0，令ωx0＋φ＝2kπ；下降零点x0，使ωx0＋φ＝π＋2kπ，再根据φ的范围确定φ的值．特别注意，求φ值时最值点法优先．跟踪训练3函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，－π2φπ2，x∈R的部分图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式为()A．f(x)＝sinx－π3B．f(x)＝sinx＋π3C．f(x)＝cosx＋π3D．f(x)＝cosx－π3解析：由图象得A＝1，T4＝2π3－π6＝π2，所以T＝2π，则ω＝1.将点π6，1代入函数f(x)解析式得sinπ6＋φ＝1，又－π2φπ2，所以φ＝π3，因此函数f(x)＝sinx＋π3.答案：B由图可知A＝1，由周期可求ω，代入最值点可求φ.类型四函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用例4函数y＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，则()A．f(x)的一个对称中心为4π3，0B．f(x)的图象关于直线x＝－112π对称C．f(x)在－π，－π2上是增函数D．f(x)的周期为π2【解析】根据函数y＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象．可得A＝3，T2＝πω＝5π6－π3，所以ω＝2，再根据五点法作图可得2×π3＋φ＝π，所以φ＝π3，所以y＝3sin2x＋π3，显然，它的周期为2π2＝π，故排除D；当x＝4π3时，函数y＝f(x)＝3sin2x＋π3＝0，故函数的图象关于点4π3，0对称，故A正确．当x＝－112π时，f(x)＝32，不是最值，故f(x)的图象不关于直线x＝－112π对称，故排除B；在－π，－π2上，2x＋π3∈－5π3，－2π3，y＝3sin2x＋π3不是增函数，故排除C.【答案】A求出函数的解析式，分别利用函数的对称中心、对称轴、单调性，周期的公式判断．方法归纳1．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出函数的单调区间．若ω0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．2．求三角函数值域的常用方法(1)求解形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sinx(或cosx)≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)求解形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)，