2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 第2课

第2课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)目标定位重点难点1.了解A，ω，φ的物理意义2.了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，会用y＝Asin(ωx＋φ)的性质解题3.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式重点：会用y＝Asin(ωx＋φ)的性质解题难点：能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义A2πωω2πωx＋φφ2．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0的有关性质性质y＝Asin(ωx＋φ)定义域__________值域__________对称性对称中心______________对称轴________________奇偶性当φ＝0时是________函数单调性通过整体代换可求出其单调区间R[－A，A]kπ－φω，0(k∈Z)x＝kπω＋π－2φ2ω(k∈Z)奇1．已知函数f(x)＝Asinπ3x＋π6(A＞0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，则A等于()A．1B．2C．4D．8【答案】B2．已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω0)的最小正周期为π，则该函数图象()A．关于点π3，0对称B．关于直线x＝π4对称C．关于点π4，0对称D．关于直线x＝π3对称【答案】A3．(2018年广东广州二模)若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是()A．kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)B．kπ＋π3，kπ＋5π6(k∈Z)C．2kπ－π6，2kπ＋π3(k∈Z)D．2kπ＋π3，2kπ＋5π6(k∈Z)【答案】A4．某简谐运动的函数表达式为y＝3sin2x＋π3，则其初相是________．【答案】π3求三角函数的解析式【例1】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)x∈R，ω＞0，A＞0，0＜φ＜π2的最大值为2，最小正周期为π，直线x＝π6是其图象的一条对称轴．(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈0，π2时，求f(x)的值域．【解题探究】(1)由函数的最值求出A，由周期求出ω，由图象的对称性求出φ的值，可得函数的解析式．(2)由条件利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)的值域．【解析】(1)∵函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)x∈R，ω＞0，A＞0，0＜φ＜π2的最大值为2，∴A＝2.根据最小正周期为2πω＝π，可得ω＝2.再根据直线x＝π6是其图象的一条对称轴，可得2×π6＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，可得φ＝kπ＋π6.又0＜φ＜π2，故φ＝π6.故f(x)＝2sin2x＋π6.(2)当x∈0，π2时，2x＋π6∈π6，7π6，sin2x＋π6∈－12，1，∴f(x)∈[－1,2]．【方法规律】确定三角函数解析式的一般思路(1)由图示纵坐标，如最高点、最低点的纵坐标确定A.(2)由图示两点的横坐标确定周期T，进而由ω＝2πT求得ω.(3)由五个点中的任一点横坐标代入ωx＋φ均可求得φ，其关键是要认清所选择的点是“五点法”中的哪一个点．一般用最高点ωx＋φ＝π2或最低点ωx＋φ＝32π不易出错，而用零点时一定要分清是“上始点”(ωx＋φ＝0)，还是“下始点”(ωx＋φ＝π)，否则将有可能得出错解．此外，若φ不在要求的范围内，可通过加2kπ(k∈Z)来完成．(2018年天津期末)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0，x∈R)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[－2π，0]上的最大值和最小值．【解析】(1)由图象得A＝1，14·2πω＝π－π3，∴ω＝34.再把点π3，－1代入可得sin34·π3＋φ＝－1，34·π3＋φ＝2kπ－π2，结合一π＜φ＜0，可得φ＝－3π4，∴f(x)＝sin34x－3π4.(2)在区间[－2π，0]上，34x－3π4∈－9π4，－3π4，故当34x－3π4＝－3π2时，函数f(x)取得最大值为1；当34x－3π4＝－9π4或－3π4时，函数f(x)取得最小值为－22.函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的运用【例2】已知函数f(x)＝12sin2x＋π6＋54.(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间；(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；(3)求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值集合．【解题探究】解答本题关键是采取整体代换方法，将“2x＋π6”视作一个整体，相当于y＝Asinx中的“x”进行求解．【解析】(1)函数f(x)的振幅为12，最小正周期为T＝2π2＝π，由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)，所以f(x)的单调增区间为kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．(2)令2x＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，则x＝kπ2＋π6(k∈Z)，所以对称轴方程为x＝kπ2＋π6(k∈Z)．令2x＋π6＝kπ(k∈Z)，则x＝kπ2－π12(k∈Z)，所以对称中心为kπ2－π12，0(k∈Z)．(3)sin2x＋π6＝－1，即2x＋π6＝－π2＋2kπ(k∈Z)，x＝－π3＋kπ(k∈Z)时，f(x)的最小值为34，此时x的取值集合是x|x＝－π3＋kπ，k∈Z.【方法规律】函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的应用(1)应用范围：函数的单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等方面都有体现和考查．(2)解决方法：有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的运用问题，要充分利用三角函数的基本性质，要特别注意整体代换思想的运用．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝π8.(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．【解析】(1)函数f(x)＝sin(2x＋φ)图象的对称轴方程为2x＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)．∵直线x＝π8是函数图象的一条对称轴，∴2·π8＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，结合－π＜φ＜0，取k＝－1得φ＝－3π4.(2)由(1)得函数f(x)的解析式为f(x)＝sin2x－3π4，令－π2＋2kπ≤2x－3π4≤π2＋2kπ(k∈Z)，得π8＋kπ≤x≤5π8＋kπ(k∈Z)，∴函数y＝f(x)的单调增区间是π8＋kπ，5π8＋kπ(k∈Z)．函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用【示例】已知函数f(x)＝2sinx2－π3.(1)写出函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得出它的图象；(2)求函数y＝f(x)的单调递减区间和对称轴的方程．【思路点拨】(1)根据函数y＝Asin(ωx＋φ)中各个量的物理意义求得振幅、周期、初相．根据y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换规律，可由正弦曲线得出它的图象．(2)令2kπ＋π2≤12x－π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．令12x－π3＝kπ＋π2，k∈Z，求得x的值，即可求得函数的对称轴方程．【解析】(1)由于函数f(x)＝2sinx2－π3，故函数的振幅为2，周期为T＝2πω＝2π12＝4π，初相为－π3.把正弦曲线y＝sinx的图象上的各个点向右平移π3个单位长度，可得函数y＝sinx－π3的图象；再把所得图象上各个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得函数y＝sin12x－π3的图象；再把所得图象上各个点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，可得函数y＝2sin12x－π3的图象．(2)令2kπ＋π2≤12x－π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，求得4kπ＋5π3≤x≤4kπ＋11π3，k∈Z，故函数的递减区间为4kπ＋5π3，4kπ＋11π3，k∈Z.令12x－π3＝kπ＋π2，k∈Z，求得x＝2kπ＋5π3，故函数的对称轴方程为x＝2kπ＋5π3，k∈Z.【题后反思】关于函数y＝Asin(ωx＋φ)的几个结论(1)若函数y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数，则有φ＝kπ＋π2(k∈Z)，若函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．(2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)关于点(x0,0)对称，则有ωx0＋φ＝kπ(k∈Z)；若关于直线x＝x0对称，则有ωx0＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)．(3)若函数y＝Asin(ωx＋φ)在区间[a，b]上是单调函数，则一定有b－a≤T2(T为函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期)．1．对函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中参数的理解(1)A：它表示做简谐振动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅．(2)T：T＝2πω，它表示做简谐振动的物体往复运动一次所需的时间，称为周期．(3)f：f＝1T＝ω2π，它表示做简谐振动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率．(4)ωx＋φ：称为相位；φ：当x＝0时的相位，称为初相．2．确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点－φω，0作为突破口．1．y＝2sin2x－π4的振幅、频率和初相分别为()A．2，1π，－π4B．2，12π，－π4C．2，1π，－π8D．2，12π，－π8【答案】A【解析】y＝2sin2x－π4的振幅为2、周期T＝2π2＝π，频率为1π，初相为－π4，故选A.2．(2019年广东佛山期末)已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的部分图象如图所示，则φ的值可以为()A．π6B．－π3C．－56πD．－43π【答案】A【解析】由图象结合五点法可得2×5π12＋φ＝2kπ＋π，解得φ＝2kπ＋π6(k∈Z)，取k＝0，得φ＝π6.故选A．3．(2018年宁夏银川模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，x∈R)的部分图象如图所示，则该函数图象的一个对称中心是()A．π3，0B．－2π3，0C．－4π3，0D．4π3，0【答案】C【解析】由函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象知，T＝2×11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT＝2.又x＝5π12时，f5π12＝2sin2×5π12＋φ＝2，解得φ＝－π3，∴f(x)＝2sin2x－π3.令2x－π3＝kπ，k∈Z，得x＝12kπ＋π6，k∈Z，当k＝－3时，x＝－3π2＋π6＝－4π3，∴该函数图象的一个对称中心为－4π3，0.故选C．4．(2018年云南玉溪模拟)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x∈R)的部分图象如图所示，则该函数表达式为______________．【答案】y＝2sinπ3x－π6＋1【解析】根据函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x∈R)的部分图象，可得k＝－1＋32＝1，A＝3－1＝2，34·2πω＝132－2，∴ω＝π3.再根据五点法作图可得π3×2＋φ＝π2，∴φ＝－π6，故函数的解析式为y＝2sinπ3x－π6＋1.