2019-2020学年高中数学 第一章 空间几何体 1.2 空间几何体的三视图和直观图（第二课时）空

第二课时空间几何体的直观图一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P16～P18，回答下列问题．美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系．(1)在画实物图的平面图形时，其中的直角在图中一定画成直角吗？提示：为了直观，不一定．(2)正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应画成什么？为什么？提示：平行四边形、扁圆形；为了增加直观性．(3)这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方法相同吗？提示：不相同．二、归纳总结·核心必记1．斜二测画法我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面多边形的直观图．斜二测画法是一种特殊的画法．平行投影2．用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使_______________________________，它们确定的平面表示水平面．∠x′O′y′＝45°(或135°)(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成_____于x′轴或y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中，平行于y轴的线段，．平行保持原长度不变长度为原来的一半3．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．(3)擦去辅助线，用虚线表示．高线被遮线三、综合迁移·深化思维(1)相等的角在直观图中还相等吗？提示：不一定．例如正方形的直观图为平行四边形．(2)空间几何体的直观图唯一吗？提示：不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同．探究点一斜二测画法[思考探究]观察下面图形，思考如下问题：(1)斜二测画法中“斜”和“二测”分别指什么？名师指津：“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．(2)斜二测画法中如何建立坐标系？名师指津：在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等．3直观图中的哪些量“变”、哪些量“不变”？名师指津：①平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变；②点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化特别是垂直关系有变化；③有些线段的度量关系也发生变化.因此图形的形状发生变化，这种变化，目的是为了使图形富有立体感.[典例精析](1)按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．(2)画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．[解](1)画法：①如图(1)作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H.②画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.③在图(2)中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝12OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝12GA，H′D′＝12HD.④连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图(3))．(2)①画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°.②画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形直观图ABCD.③画顶点．在Oz轴上截取OP使OP的长度是原四棱锥的高．④成图．顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.[类题通法]1．画平面图形的直观图的技巧(1)在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，且与x′轴平行的线段长度不变，与y′轴平行的线段长度减半．(2)原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线．画端点时，过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置．(3)原图中的曲线可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑曲线连接而画出．2．简单几何体直观图的画法(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系．(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面．(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．(4)连线成图．[针对训练]1．用斜二测画法画如图所示边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图．解：(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2cm，在y′轴上取O′A′＝12OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．2．如图所示，由下列几何体的三视图画出直观图．解：(1)画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.(2)画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.(3)画侧棱．过点A、B、C、D、E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等于正视图的高．(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′、E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示．探究点二由直观图还原平面图形[典例精析]如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝23C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求原图形的面积．[思路点拨]按斜二测画法规则还原四边形的平面图形，再根据平面图形计算其面积．[解]如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2.在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，即得到了原图形(如图)．由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.所以面积为S＝2＋32×2＝5.[类题通法](1)由直观图还原平面图形关键有两点：①平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴线段变为原来的2倍；②对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．(2)一个平面图形与其斜二测画法所画直观图的面积间的关系是S直观图S原图＝24.3．已知水平放置的△ABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC是一个()A．等边三角形B．直角三角形C．三边中有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形解析：根据斜二测画法的原则，得BC＝B′C′＝2，OA＝2A′O′＝2×32＝3，AO⊥BC，∴AB＝AC＝BC＝2，∴△ABC是等边三角形．答案：A4．如图所示的平行四边形A′B′C′D′是一个平面图形的直观图，且∠D′A′B′＝45°，请画出它的实际图形．解：(1)在直观图A′B′C′中建立坐标系x′A′y′，如图(1)，再建立一个直角坐标系xOy.(2)如图(2)所示，在x轴上截取线段AB＝A′B′，在y轴上截取线段AD，使AD＝2A′D′.(3)过B作BC∥AD，过D作DC∥AB，使BC与DC交于点C，则四边形ABCD为四边形A′B′C′D′的实际图形如图(3)．[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤，会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图，难点是用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)画平面图形直观图的方法步骤，见探究点一．(2)画简单几何体直观图的方法步骤，见探究点一．(3)直观图与原图形之间的关系，见探究点二．3．本节课的易错点是三视图、直观图、原空间几何体形状之间的相互转换，如探究点二．