2019-2020学年高中数学 第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构（第一课时）棱柱、棱锥、

第一课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P2～P4，回答下列问题．(1)观察下列图片，你知道这些图片在几何中分别叫什么名称吗？将这些几何体进行适当分类，你认为可以分成哪几种类型？1.1空间几何体的结构提示：(1)、(8)为圆柱；(2)为长方体；(3)、(6)为圆锥；(4)、(10)为圆台；(5)、(7)、(9)为棱柱；(11)、(12)为球；(13)、(16)为棱台；(14)、(15)为棱锥．可以分成七类．分别是：棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球．(2)观察图(2)(5)(7)(9)(13)(14)(15)(16)中组成几何体的每个面的特点，以及面与面之间的关系，你能归纳出它们有何共同特点吗？提示：组成几何体的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形．(3)观察图(1)(3)(4)(6)(8)(10)(11)(12)中组成几何体的每个面都有何共同特点？提示：组成它们的面不全是平面图形，更多的是曲面．二、归纳总结·核心必记1．空间几何体概念定义空间几何体空间中的物体，若只考虑这些物体的____和_____，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的___________就叫做空间几何体形状大小空间图形2．多面体与旋转体类别定义图示多面体由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体旋转体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴3．棱柱、棱锥、棱台的结构特征分类定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都互相，由这些面所围成的多面体叫做棱柱如图可记作：棱柱ABCD-A′B′C′D′底面(底)：两个互相______的侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的_________顶点：侧面与底面的公共顶点棱锥有一个面是，其余各面都是有一个公共顶点的，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥SABCD底面(底)：________侧面：有公共顶点的各个_________侧棱：相邻侧面的_________顶点：各侧面的__________平行四边形平行多边形三角形平行公共边多边形面三角形面公共边公共顶点分类定义图形及表示相关概念棱台用一个______________的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台如图可记作：棱台ABCD-A′B′C′D′上底面：原棱锥的_______下底面：原棱锥的_______侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点平行于棱锥底面截面底面三、综合迁移·深化思维棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否相互转化？提示：它们在结构上的相同点是：它们都是由平面多边形围成的几何体，它们都有底面且底面都是多边形；不同点是：棱柱和棱台都有两个底面，而棱锥只有一个底面，棱柱的两个底面是全等的，棱台的两个底面是相似的；能够相互转化，棱台是由棱锥截取得到的，棱台的上底面扩大，使上下底面全等，就是棱柱，棱台的上底面缩为一个点是就是棱锥．如下图．探究点一棱柱的结构特征[思考探究]观察下面图形：(1)棱柱平行于底面的截面与上、下两个底面有什么关系？提示：两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形．(2)过棱柱不相邻的两条侧棱的截面是什么图形？提示：过棱柱不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形．(3)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？提示：不一定．如图所示．[典例精析]下列命题中，正确的是()A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形[解析]由棱柱的定义可知，只有D正确，分别构造图形如下：A中平面ABCD与平面A1B1C1D1平行，但四边形ABCD与A1B1C1D1相似不全等；B中正六棱柱的相对侧面ABB1A1与EDD1E1平行，但不是底面；C中直四棱柱底面ABCD是菱形．[答案]D[类题通法]棱柱结构特征问题的解题策略(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征．(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．[针对训练]1．下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．解析：(1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4)．答案：(3)(4)探究点二棱锥、棱台的结构特征[思考探究]观察下面图形，思考如下问题：(1)棱锥的结构特征是什么？名师指津：①有一个面是多边形；②其余各面都是有一个公共顶点的三角形．(2)棱台的结构特征是什么？名师指津：①上底面与下底面是互相平行的相似多边形；②侧面都是梯形；③侧棱延长线必交于一点．[典例精析]下列关于棱锥、棱台的说法：(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)棱锥的侧面只能是三角形；(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．[解析](1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；由棱锥的定义可知(3)、(4)正确；(5)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．[答案](2)(3)(4)[类题通法]判断棱锥、棱台形状的2个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点[针对训练]2．下面描述中，不是棱锥的结构特征的为()A．三棱锥的四个面是三角形B．棱锥都有两个面是互相平行的多边形C．棱锥的侧面都是三角形D．棱锥的侧棱相交于一点解析：根据棱锥的结构特征，知棱锥中不存在互相平行的多边形，故B错．答案：B3．下列说法正确的是()①棱锥的侧面不一定是三角形；②棱锥的各侧棱长一定相等；③棱台的各侧棱的延长线交于一点；④用一平面去截棱锥，得到两个几何体，其中一个一定是棱锥，一个是棱台．A．①B．②C．③D.④解析：棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故①②不正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，故各个侧棱的延长线一定交于一点，③正确；④中只有用一平行于底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，才能一个是棱锥，一个是棱台，故④不正确．答案：C探究点三多面体的表面展开图[典例精析]如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？[思路点拨]可将展开图沿虚线折起来，便得到原几何体，再结合结构特征判断为何种几何体．[解]由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．[类题通法]多面体展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．[针对训练]4．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是()解析：将四个选项的平面图形折叠，可知C中的图可复原为正方体．答案：C5．已知正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为4cm，高为10cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面，绕行两周到达点A1的最短路线的长为()A．16cmB．123cmC．243cmD.26cm解析：将正三棱柱ABC­A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，如图所示，最短距离是六个小矩形拼成的矩形对角线的连线的长度，即为三棱柱的侧面上所求路线的最小值．由已知，拼成的矩形的长等于6×4＝24cm，宽等于10cm，所以最短路线为l＝242＋102＝26cm，故选D.答案：D[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是理解并掌握棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征，难点是在描述和判断几何体结构特征的过程中培养观察能力和空间想象能力．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)有关棱柱结构特征的解题策略，见探究点一．(2)判断棱锥、棱台形状的方法，见探究点二．(3)绘制展开图和由展开图还原几何体的方法，见探究点三．3．本节课的易错点是理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征及其关系中出现偏差而致错，如探究点一，探究点二．