2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理课件 新人教A版必修5

第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理目标导航课标要求1.了解正弦定理的推导过程,掌握正弦定理及其基本应用.2.能用正弦定理解三角形,并能判断三角形的形状.素养达成1.通过对正弦定理的学习,培养学生发现数学规律的思维方法与能力.2.通过对正弦定理的证明和应用,培养学生独立解决问题的能力及直观想象与数学建模的能力.新知导学课堂探究1.正弦定理(1)定理:在一个三角形中,各边和它所对角的的比相等.(2)表达式:.思考1:正弦定理对任意三角形都成立吗?正弦新知导学·素养养成sinaA=sinbB=sincC答案:在直角△ABC、锐角△ABC或钝角△ABC中,都有sinaA=sinbB=sincC成立,且其比值为2R(R为△ABC外接圆的半径).思考2:在△ABC中,为什么说AB等价于sinAsinB?答案:由sinAsinB⇔2RsinA2RsinB⇔ab⇔AB.a思考3:利用正弦定理解三角形如何防止漏解或增解?答案:①要结合平面几何中“大边对大角,大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题.②明确给定的三角形的元素,为了防止漏解或增解,有时常结合几何作图进行判断.2.解三角形一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边,,叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做.bc解三角形名师点津(1)正弦定理的常见变形(R为△ABC外接圆的半径)边化角公式a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC角化边公式sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR变式1a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC变式2变式3asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinBsinaA=sinbB=sincC=sinsinsinabcABC=2R(2)在△ABC中,已知a,b和角A时,解的情况如下:角A为锐角角A为钝角或直角图形关系式①a=bsinA②a≥bbsinAababsinAaba≤b解的个数一解两解无解一解无解课堂探究·素养提升题型一已知两角及一边解三角形[例1](1)在△ABC中,c=3,A=75°,B=60°,则b等于()(A)322(B)322(C)32(D)62解析:(1)因为A=75°,B=60°,所以C=180°-75°-60°=45°.因为c=3,根据正弦定理得sinbB=sincC,所以b=sinsincBC=33222=322.故选A.答案:(1)A答案:(2)46(2)在△ABC中,已知BC=12,∠A=60°,∠B=45°,则AC=.解析:(2)由正弦定理知sinACB=sinBCA,则sin45AC=12sin60,解得AC=46.方法技巧已知三角形两角和任一边解三角形的方法(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对边,再由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求出第三边.(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.即时训练1-1:在△ABC中,A=30°,C=105°,a=2,求B,b,c.解:因为A=30°,C=105°,所以B=180°-(A+C)=45°.因为sinaA=sinbB=sincC,所以b=sinsinaBA=2sin45sin30=22,c=sinsinaCA=2sin105sin30=2+6.所以B为45°,b,c分别为22和2+6.解:A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.由sinbB=sinaA得,b=sinsinaBA=8sin60sin45=46,由sinaA=sincC得,c=sinsinaCA=8sin75sin45=268422=4(3+1).所以A=45°,b=46,c=4(3+1).[备用例1]在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,b,c.题型二已知两边及其中一边的对角解三角形规范解答:因为sinaA=sincC,所以sinC=sincAa=6sin452=32，4分所以C=60°或120°.……………………………………………………5分当C=60°时,B=75°,b=sinsincBC=6sin75sin60=3+1.……………………8分当C=120°时,B=15°,b=sinsincBC=6sin15sin120=3-1.………………11分所以b=3+1,B=75°,C=60°或b=3-1,B=15°,C=120°.………12分[例2]在△ABC中,若c=6,A=45°,a=2,求B,C,b.方法技巧已知三角形中的两边和其中一边的对角,解三角形时:(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角.(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.即时训练2-1:(2019·山东菏泽月考)在△ABC中,a=1,b=3,A=30°,求边c的长.解:由sinaA=sinbB,得sinB=sinbAa=32.因为ab,所以BA=30°,所以B为60°或120°.当B=60°时,C=180°-60°-30°=90°.此时c=22ab=13=2.当B=120°时,C=180°-120°-30°=30°.此时,c=a=1.综上知c=1或2.[备用例2](1)(2019·金华高二检测)在△ABC中,已知a=2,b=1,A=45°,求角B,C及边c.解:(1)由正弦定理sinaA=sinbB,得sinB=sinbAa=2122=12.因为ab,所以AB,所以B为锐角,所以B=30°.再由三角形内角和定理得C=180°-(A+B)=105°.由正弦定理sinaA=sincC,得c=sinsinaCA=2sin105sin45=622.解:(2)①在△ABC中,a=3,b=26,B=2A,由正弦定理,得3sinA=26sin2A,所以2sincossinAAA=263,所以cosA=63.②由①知cosA=63,则sinA=21cosA=33.因为B=2A,所以cosB=2cos2A-1=13.所以sinB=21cosB=223.在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=539.所以c=sinsinaCA=5.(2)(2019·河南洛阳高二期中)在△ABC中,已知a=3,b=26,B=2A.求:①cosA的值;②c的值.题型三利用正弦定理判断三角形的形状[例3](1)(2019·安徽芜湖检测)在△ABC中,已知baa=sinsinsinBBA且2sinAsinB=2sin2C,试判断该三角形的形状;解:(1)由已知baa=sinsinsinBBA=bba,所以b2-a2=ab.①又2sinAsinB=2sin2C,由正弦定理得2ab=2c2.②由①②,得b2=a2+c2.所以该三角形是以B为直角的直角三角形.解:(2)由已知得2sincosaBB=2sincosbAA,由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB(R为△ABC的外接圆的半径),所以224sinsincosRABB=224sinsincosRBAA,所以sinAcosA=sinBcosB,所以sin2A=sin2B,又A,B为三角形的内角,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=π2.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.(2)在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,试判断△ABC的形状.方法技巧(2)化边为角.将题目中所有的条件,利用正弦定理化边为角,再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系,进而确定三角形的形状.利用的公式为a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径(1)化角为边.将题目中的所有条件,利用正弦定理化角为边,再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系,如a=b,a2+b2=c2等,进而确定三角形的形状.利用的公式为sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR.即时训练3-1:在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,且sinA=2sinBcosC.试判断△ABC的形状.解:由正弦定理,得sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR,因为sin2A=sin2B+sin2C,所以(2aR)2=(2bR)2+(2cR)2,即a2=b2+c2,故A=90°.所以C=90°-B,cosC=sinB.所以2sinB·cosC=2sin2B=sinA=1.所以sinB=22.所以B=45°或B=135°(A+B=225°180°,故舍去).所以△ABC是等腰直角三角形.题型四易错辨析——忽略三角形内角范围致误[例4]在△ABC中,若C=3B,求cb的取值范围.错解:由正弦定理得cb=sinsinCB=sin3sinBB=sin(2)sinBBB=sincos2cossin2sinBBBBB=cos2B+2cos2B=4cos2B-1,因为-1cosB1,所以0≤cos2B1,所以-1≤4cos2B-13.又cb0,故cb的取值范围为(0,3).纠错:(1)本题错在没有注意到对角B的取值范围的探究,事实上,因为C=3B,所以A=180°-(B+C)=180°-4B0°,所以0°B45°,所以cosB∈(22,1),而不是(-1,1).(2)在利用正弦定理解三角形或判断三角形的形状时应注意角的范围这一隐含条件,即三角形的内角在(0°,180°)范围内,同时应结合三角函数的有关公式进行综合分析.正解:由正弦定理得cb=sinsinCB=sin3sinBB=sin(2)sinBBB=sincos2cossin2sinBBBBB=cos2B+2cos2B=4cos2B-1.又因为A+B+C=180°,C=3B,所以0°B45°,所以22cosB1,所以14cos2B-13,故1cb3.学霸经验分享区(1)在三角形中,解决有关含有边角关系的问题时常运用正弦定理化边为角(或化角为边),然后利用三角函数知识解决.(2)角变换时变换方法及公式都要熟练掌握,同时应注意三角形中各角的范围.(3)应用正弦定理解三角形时的常用结论①在△ABC中,a+bc,|a-b|c,sinA+sinBsinC.②在△ABC中,ab⇔AB⇔sinAsinB.③在△ABC中,A+B+C=π,2AB=π2-2C⇒sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,sin2AB=cos2C.④在锐角△ABC中,A+Bπ2⇔Aπ2-B⇔sinAcosB⇔cosAsinB.课堂达标B1.有关正弦定理的叙述:①正弦定理只适用于锐角三角形;②正弦定理不适用于直角三角形;③在某一确定的三角形中,各边与它所对角的正弦的比是一定值;④在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c.其中正确的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)4解析:正弦定理适用于任意三角形,故①②均不正确;由正弦定理可知,三角形一旦确定,则各边与其所对角的正弦的比就确定了,故③正确;由比例性质和正弦定理可推知④正确.故选B.C2.在△ABC中,a=4,A=45°,B=60°,则边b的值为()(A)3+1(B)23+1(C)26(D)2+233.(2019·湖南长沙检测)在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是()(A)有一解(B)有两解(C)无解(D)有解,但解的个数不确定解析:由正弦定理sinbB=sincC得sinB=sinbCc=340220=31,所以B不存在,即满足条件的三角形不存在.故选C.C解析:由正弦定理得3sinA=2sinB·sinA,因为sinA≠0,所以sinB=32.又0B18