2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理课

1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理第一章解三角形课前自主预习1.余弦定理.2．余弦定理的推论cosA＝，cosB＝，cosC＝.□01三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC□02b2＋c2－a22bc□03a2＋c2－b22ac□04a2＋b2－c22ab3．余弦定理及其推论的应用应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题：一类是已知解三角形，另一类是已知解三角形．□05两边及其夹角□06三边1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况．()(2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．()(3)已知△ABC中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状．()√×√2．做一做(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝7，c＝3，则B＝________.(2)已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是________三角形．(3)在△ABC中，若a2＋b2－c2＝ab，则角C的大小为________．(4)(教材改编P8T1)在△ABC中，AB＝4，BC＝3，B＝60°，则AC等于________．5π6钝角π313解析(4)由条件已知三角形的两边及其夹角，故可以直接利用余弦定理求得边AC，即AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcosB＝16＋9－2×4×3×12＝13.∴AC＝13.课堂互动探究探究1已知两边及一角解三角形例1在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，C和边a.解解法一：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，∴32＝a2＋(33)2－2a×33×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.当a＝6时，由正弦定理，得sinA＝asinBb＝6×123＝1.∴A＝90°，∴C＝60°.解法二：由bc，B＝30°，cbcsin30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理，得sinC＝csinBb＝33×123＝32，∴C＝60°或120°，当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得a＝b2＋c2＝32＋332＝6，当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.拓展提升已知两边及一角解三角形的两种情况(1)三角形中已知两边和一边的对角，有两种解法．法一利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长，这样可免去判断取舍的麻烦．法二直接运用正弦定理，先求角再求边．(2)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用正弦定理或余弦定理求解．【跟踪训练1】(1)在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是()A．8B．217C．62D．219(2)在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．答案(2)见解析解析(1)根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6×cos120°＝76，c＝219.(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos45°＝8，∴b＝22，又∵cosA＝b2＋c2－a22bc＝8＋6＋22－2322×22×6＋2＝12，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.探究2已知三边(三边关系)解三角形例2(1)在△ABC中，若a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为()A.π3B.π6C.π4D.π12(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．答案(2)见解析解析(1)因为cba，所以最小角为角C.所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝49＋48－132×7×43＝32，所以C＝π6，故选B.(2)已知a－b＝4，且ab，且a＝b＋4，又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，则bc，从而abc，所以a为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.又b＝a－40，所以a＝14.即此三角形的最大边长为14.[条件探究]若本例(1)中条件不变，如何求最大角的余弦值呢？解因为cba，所以最大角为角A，所以由余弦定理可得cosA＝b2＋c2－a22bc＝432＋132－722×43×13＝48＋13－49839＝3926.故△ABC的最大角的余弦值为3926.拓展提升已知三边求解三角形的方法(1)已知三角形的三边求角时，可先利用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角．【跟踪训练2】(1)在△ABC中，(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则此三角形的最大内角为________；(2)在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．120°答案(2)见解析解析(1)由(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，得a∶b∶c＝7∶5∶3，∴边a最大．又cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴A＝120°.(2)由余弦定理的推论，得cosA＝AB2＋AC2－BC22×AB×AC＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x，由余弦定理知：x2＝AC22＋AB2－2×AC2×ABcosA＝42＋92－2×4×9×23＝49，则x＝7.所以，所求中线长为7.[解法探究]在△ABC中，设AC边的中线长为x，如图由余弦定理可得在△ABC中，有AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC，①在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB×AD×cos∠BAD，②①＋②可得2(AB2＋BC2)＝(2x)2＋AC2，即2×(92＋72)＝(2x)2＋82，∴x＝7，∴所求中线长为7.探究3判断三角形的形状例3在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，试确定△ABC的形状．解利用边的关系判断，由正弦定理，得sinCsinB＝cb，由2cosAsinB＝sinC，得cosA＝sinC2sinB＝c2b，又cosA＝b2＋c2－a22bc，∴c2b＝b2＋c2－a22bc，即a＝b.又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab，∴b＝c，综上a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．[解法探究]利用角的关系来判断由2cosAsinB＝sinC，得2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0，又A与B均为△ABC的内角，∴A＝B.由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得(a＋b)2－c2＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝12，C＝60°，∴△ABC为等边三角形．拓展提升利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理、三角恒等变换等知识)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．【跟踪训练3】在△ABC中，若(a－ccosB)sinB＝(b－ccosA)sinA，判断△ABC的形状．解由正弦定理及余弦定理知，原等式可化为a－c·a2＋c2－b22acb＝b－c·b2＋c2－a22bca，整理，得(b2－a2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2，故三角形为等腰三角形或直角三角形．[解法探究]由正弦定理，原等式可化为(sinA－sinCcosB)sinB＝(sinB－sinCcosA)sinA，∴sinBcosB＝sinAcosA，∴sin2B＝sin2A，∴2B＝2A或2B＋2A＝π，∴A＝B或A＋B＝π2，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．探究4利用正、余弦定理求解平面图形中线段长例4在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．解在△ABD中，设BD＝x，由余弦定理，得BA2＝BD2＋AD2－2BD×AD×cos∠BDA即142＝x2＋102－2×10x×cos60°，整理得x2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)．由正弦定理，得BCsin∠CDB＝BDsin∠BCD，∴BC＝16sin135°·sin30°＝82.拓展提升(1)余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的．在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解．同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息．(2)解题时，还应注意，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应用．【跟踪训练4】如图所示，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB.解在△ADC中，cosC＝AC2＋DC2－AD22×AC×DC＝72＋32－522×7×3＝1114.又∵0°C180°，∴sinC＝5314.在△ABC中，ACsinB＝ABsinC，∴AB＝sinCsinB·AC＝5314×2×7＝562.[规律小结]1.对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．2.判定三角形的形状(1)有关三角形边角关系解三角形问题，就是从“统一”入手，体现转化思想．判断三角形的形状有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式．②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式．(2)判定三角形形状时经常用到下列结论：①△ABC中，若a2b2＋c2，则0°A90°；反之，若0°A90°，则a2b2＋c2.例如：在不等边△ABC中，a是最大的边，若a2b2＋c2，可得角A的范围是π3，π2.②在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2.③在△ABC中，若a2b2＋c2，则90°A180°；反之，若90°A180°，则a2b2＋c2.[走出误区]易错点⊳忽略三角形三边关系导致出错[典例]设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．[错解档案]∵2a＋1，a,2a－1是三角形的三边，∴2a＋10，a0，2a－10，解得a12，∴2a＋1是三边长中最长的边，设其所对角为θ.∵2a＋1，a,2a－1是钝角三角形的三边，∴cosθ0，即a2＋2a－12－2a＋122a2a－1＝aa－82a2a－10，解得12a8，∴a的取值范围是12，8.[误区警示]解题时，易忽略三角形的三边满足两边之和大于第三边，而使某些字母的范围变大，本题中a＋(2a－1)2a＋1，即a2，而不是a12.[规范解答]∵2a＋1，a,2a－1是三角形的三边，∴2a＋10，a0，2a－10，解得a12，此时2a＋1最大．要使2a＋1，a,2a－1表示三角形的三边，还需a＋(2a－