2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1-5-2 二项式系数的性质课件 北师大版选修2-

第1页§5二项式定理第二课时二项式系数的性质第2页1．在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cn0＝Cnn，Cn1＝Cnn－1，Cn2＝Cnn－2，…，Cnr＝Cnn－r．事实上，这一性质可直接由公式Cnm＝Cnn－m得到．2．如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．第3页3．二项式系数的和为2n，即Cn0＋Cn1＋…＋Cnk＋…＋Cnn＝2n．4．奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝2n－1．第4页二项式系数的性质1．Cn＋1r＝Cnr＋Cnr－1.2．对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等．3．增减性：当kn＋12时，二项式系数逐渐增大，当kn＋12时，二项式系数逐渐减小．第5页4．最大值：在中间时取最大值．n为奇数，Cn＋12n，Cn－12n为最大值，n为偶数，Cn2n为最大值.5．各个二项式系数的和等于2n.第6页课时学案第7页题型一杨辉三角例1如下图，它满足：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行(n≥2)第二个数是多少？1223434774511141156162525166…………第8页【思路】关键是寻求相邻两行第2个数之间的递推关系，从而转化为递推数列问题来解决．【解析】设第n行第2个数为an(n≥2)，则a2＝2，n＋an＝an＋1（n≥2）.∴an＋1－an＝n.∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋a2＝2＋2＋3＋4＋…＋(n－1)＝1＋（n－1）（1＋n－1）2＝n2－n＋22.第9页探究1解决与杨辉三角有关的问题的一般方法是：观察——分析，实验——猜想结论——证明，要得出杨辉三角中的数字的诸多排列规律，取决于我们的观察能力，注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察(横看成岭侧成峰，远近高低各不同)．第10页◎思考题1如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第________行中从左至右第14与第15个数的比为2∶3.第11页第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051………………第12页【解析】∵Cn13Cn14＝23，即14n－13＝23，∴n＝34.【答案】34第13页题型二求展开式的系数和例2设(2－3x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值．(1)(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a100)；(2)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.第14页【思路】观察所要求的式子与展开式各项的特点，用“赋值法”求解．第15页【解析】(1)原式＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)＋99a0，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)100.①令x＝0，得a0＝2100，∴原式＝(2－3)100＋99×2100.(2)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋3)100.②①②联立相减，得a1＋a3＋…＋a99＝（2－3）100－（2＋3）1002.第16页(3)方法一∵Tr＋1＝(－1)rC100r2100－r(3)rxr，∴a2k－10(k∈N*)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋3)100.方法二把已知等式的左边的“－”号改为“＋”号，再令x＝1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝(2＋3)100.第17页探究2(1)求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来赋值．(2)一般地，二项式的展开式f(x)的各项系数和为f(1)，奇次项系数和为12[f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为12[f(1)＋f(－1)]．第18页◎思考题2若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6.第19页【解析】(1)令x＝0，则a0＝－1；令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.①所以a1＋a2＋…＋a7＝129.(2)令x＝－1，则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7.②由①－②2，得a1＋a3＋a5＋a7＝12[128－(－4)7]＝8256.(3)由①＋②2，得a0＋a2＋a4＋a6＝12[128＋(－4)7]＝－8128.第20页【点评】根据问题特点，分别对x赋值0，1，－1，其中0，1，－1是我们解决该类题常赋的三个值，这种方法叫做赋值法．第21页题型三最值问题例3已知(3x2＋3x2)n展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．第22页【解析】令x＝1得展开式各项系数和为(1＋3)n＝4n.又展开式二项式系数和Cn0＋Cn1＋…＋Cnn＝2n，由题意有4n－2n＝992.即(2n)2－2n－992＝0，(2n－32)(2n＋31)＝0，n＝5.第23页(1)因为n＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第三、四两项．它们是T3＝C52(3x2)3·(3x2)2＝90x6.T4＝C53(3x2)2(3x2)3＝270x223.第24页(2)设展开式中第k＋1项的系数最大．又Tk＋1＝C5k(3x2)5－k·(3x2)k＝C5k3kx10＋4k3，得C5k·3k≥C5k－1·3k－1，C5k·3k≥C5k＋1·3k＋1⇒3k≥16－k，15－k≥3k＋1⇒72≤k≤92.又因为k∈Z，所以k＝4，所以展开式中第5项系数最大．T5＝C5434x263＝405x263.第25页探究3(1)求展开式中的二项式系数最大的项，首先分清n的奇偶，才能把握好最大项是一项还是两项．(2)求展开式系数最大项一般情况是列不等式组，假设第k＋1项的系数最大，则第k＋1项的系数就大于或等于它前面所有项的系数，同时又大于或等于它后面所有项的系数即可．第26页◎思考题3写出(x－y)11的展开式中，(1)通项Tr＋1；(2)二项式系数最大的项；(3)项的系数绝对值最大的项；(4)项的系数最大的项；(5)项的系数最小的项；(6)二项式系数的和；(7)各项的系数的和．第27页【解析】(1)Tr＋1＝(－1)r·C11rx11－r·yr.(2)二项式系数最大的项为中间两项：T6＝－C115·x6·y5，T7＝C116·x5·y6.(3)系数绝对值最大的项也是中间两项，同(2)．(4)中间两项系数绝对值相等，一正一反，第7项系数为正，故取T7＝C116·x5·y6.第28页(5)项的系数最小的项是T6＝－C115·x6·y5.(6)展开式中，二项式系数的和为C110＋C111＋…＋C1111＝211.(7)展开式中，各项的系数和为C110－C111＋C112－…＋(－1)11·C1111＝(1－1)11＝011＝0.第29页自助餐第30页整除及余数问题例19192被100除所得的余数为()A．1B．81C．－81D．992第31页【解析】利用9192＝(100－9)92的展开式，或利用(90＋1)92的展开式．解法一：(100－9)92＝C920·10092－C921×10091·9＋C922·10090·92－…－C9291·100·991＋C9292992.展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．第32页由992＝(10－1)92＝C9201092－…＋C9290102－C929110＋1.前91项均为能被100整除，后两项和为－919，因原式为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，∴9192被100除可得余数为81，故选B.第33页解法二：(90＋1)92＝C920·9092＋C921·9091＋…＋C9290·902＋C9291·90＋C9292.前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8281，显然8281除以100所得余数为81，故选B.【答案】B第34页探究利用二项定理可以求余数和证明整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)一、二项就可以了．第35页例21.9975精确到0.001的近似值是________．【解析】1.9975＝(2－0.003)5＝25－C51·24·0.003＋C52·23·0.0032－C53·22·0.0033＋…≈32－0.24＋0.00072≈31.761.【答案】31.761第36页例3求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．【解析】原式＝(1＋8)n＋1－8n－9＝1＋Cn＋1181＋Cn＋1282＋…＋Cn＋1n＋18n＋1－8n－9＝Cn＋1282＋Cn＋1383＋…＋Cn＋1n＋18n＋1＝64(Cn＋12＋Cn＋138＋…＋Cn＋1n＋18n－1)．∵Cn＋12，Cn＋13，…，Cn＋1n＋1均为自然数，上式各项均为64的整数倍．∴32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．第37页课后巩固第38页1．在(a＋b)n的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则n＝()A．6B．7C．8D．9答案A解析由题意知，Cn1＝Cn5，解得n＝1＋5＝6.第39页2．在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝()A．8B．9C．10D．11答案C解析x5的系数是第6项，它是中间项．∴n＝10，选C.第40页3．设(5x－x)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，则展开式中x3项的系数为()A．500B．－500C．150D．－150第41页答案C解析N＝2n，令x＝1，则M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2.∴(2n)2－2n＝240，∴2n＝16，n＝4.展开式中第r＋1项Tr＋1＝C4r·(5x)4－r·(－x)r＝(－1)r·C4r·54－r·x4－r2.令4－r2＝3，即r＝2，此时C42·52·(－1)2＝150.第42页4．二项展开式(2x－1)10中x的奇次幂项的系数之和为()A.1＋3102B.1－3102C.310－12D．－1＋3102第43页答案B解析设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得1＝a0＋a1＋a2＋…＋a10，再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10，两式相减可得a1＋a3＋…＋a9＝1－3102，故选B.第44页5．若(1－2x)2015＝a0＋a1x＋…＋a2015x2015(x∈R)，则a12＋a222＋…＋a201522015的值为()A．2B．0C．－1D．－2第45页答案C解析ar＝C2015r(－2)r，r＝0，1，2，…，2015，∴a12＋a222＋…＋a201522015＝－C20151＋C20152－C20153＋…－C20152015.又C20150－C20151＋C20152－…－C20152015＝0.故原式＝－1.第46页6．在(1＋x)n(n为正整数)的二项展开式中奇数项的和为A，偶数项的和为B，则(1－x2)n的值为()A．0B．ABC．A2－B2D．A2＋B2答案C解析(1＋x)n＝A＋B，(1－x)n＝A－B，所以(1－x2)n＝A2－B2.第47页7．已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a5；(2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；(3)求a1＋a3＋a5.第48页解析(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5