2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1-4-1 排列组合的综合应用（一）课件 北师大版

第1页§4简单计数问题第一课时排列组合的综合应用(一)第2页1．解排列组合的应用题，通常有以下几种途径(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数．第3页2．掌握典型题型的技巧解法(1)相邻问题——捆绑法；(2)相离问题——插空法；(3)多元问题——分类法；(4)标号排位问题——分步法；(5)定序问题——消序法；第4页(6)多排问题——单排法；(7)至少问题——间接法；(8)选排问题——先取后排法；(9)组排问题——先组后排法．第5页3．处理排列组合问题的总原则(1)弄清事件的情景：首先搞清有无“顺序”要求，若有则用Anm，反之用Cnm；其次弄清目标的实现，是分步达到的，还是分类达到的，从而正确选用计数原理，一个复杂问题往往是分类与分步交织在一起的；最后看一下元素可否重复．第6页(2)掌握“双向”解题途径，即“正面凑”与“反过来剔”，一道题目“正面凑”繁，“反面剔”则简，反之亦然．(3)重视一题多解，通过一题多解积累解题方法，提高分析能力，同时它也是重要的检验方法．第7页课时学案第8页题型一排列组合的综合问题例1从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，求其中能被5整除的四位数的个数．【思路】因为个位必须是0，5，但0不排首位，故可优先安排0，按“0排个位”、“0排十、百位”、“不含0”分三类．第9页【解析】符合条件的四位数的个位必须是0，5，但0不能排在首位，故0是其中的特殊元素，应优先安排，按照0排在个位，0排在十、百位和不含0为标准分为三类：①0排在个位，能被5整除的四位数有A11C41C42A33＝144个；②0排在十、百位，但5必须排在个位有A21A11·C41C31A22＝48个；③不含0，但5必须排在个位有A11C42C31A33＝108个．由分类加法计数原理得所求的四位数共有300个．第10页探究1本例采取先特殊(特殊元素、特殊位置)，再一般的解题思路．第11页◎思考题1用0，1，2，3，4，5这六个数字，(1)可以组成多少个无重复数字的五位数；(2)可以组成多少个无重复数字的五位奇数；(3)可以组成多少个无重复数字的能被5整除的五位数．第12页【解析】(1)方法一：(直接法)从1，2，3，4，5这五个数字中任取一个作首位，有C51种；余下的5个数字可排在后四位中的任何一个位置，有A54种，由分步计数原理，共有C51A54＝600个．第13页方法二：(间接法)不考虑任何限制，共有A65种，而0作首位时，有A54种，故适合题意的数字个数为A65－A54＝600个．(2)一个数是否为奇数取决于个位数字，所以个位为特殊位置，又0不能排在首位，所以0为特殊数字，应优先考虑，有C31C41A43＝288个．第14页(3)能被5整除的五位数，则个位数字是0或5.当个位数字是0时，共有A54个；当个位数字是5时，共有C41A43个，由分类计数原理，适合题意的数字共有A54＋C41A43＝216个．第15页例2从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方案有()A．180种B．240种C．300种D．360种第16页【思路】可根据甲、乙参加，不参加分类．【解析】分三种：(1)甲、乙都不参加，有A44＝24(种)．(2)甲、乙仅有1人参加，有C21C31A43＝144(种)．(3)甲、乙都参加有A32A42＝72(种)，由分类计数原理，所以共有24＋144＋72＝240(种)，故B对．【答案】B第17页探究2本例采取先选后排的解题思路．第18页◎思考题2从a、b、c、d、e、f六个字母中每次取4个进行排列，若每个排列都含有a、b，且a在b前的排列有多少个？第19页【解析】方法一第一步，在四个位置中任选两个作为a、b的位置，因a在b前，顺序一定，故是组合，方法应有C42＝6.第二步，在余下的两个位置由除a、b外的另四个元素来排，因为有位置顺序的要求，故是排列问题，排法为A42＝12种，由乘法原理得排法应有C42·A42＝72种．第20页方法二第一步，从c、d、e、f中任选出两个元素来，选法为C42.第二步，把选出的两个元素排在四个位置上的任意两个上，排法为A42，此时余下的两个位置即是a在前b在后的位置，只有一种选法，由乘法原理得C42·A42＝72种．第21页方法三第一步，从c、d、e、f中选出两个元素来，选法为C42种．第二步，将a、b与第一步选出的两个元素共四个元素排在四个不同的位置上，共有A44＝24种排法，又a应在b前，应除以2，故得排法为12C42·A44＝72种．第22页题型二排列、组合的综合应用例3有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？第23页【解析】方法一(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C41种选法；0可在后两位，有C21种方法；最后剩下的三张中任取一张，有C31种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C41C21C3122(个)．第24页(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数C42·22·A33(个)．(3)0和1都不取，有不同的三位数C43·23·A33(个)．综上所述，共有不同的三位数：C41·C21·C31·22＋C42·22·A33＋C43·23·A33＝432(个)．第25页方法二(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C53·23·A33(个)，其中0在百位的有C42·22·A22(个)，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C53·23·A33－C42·22·A22＝432(个)．第26页探究3解排列组合的应用题，要注意三点：(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步．(2)深入分析，周密思考，分清是乘还是加，既不少也不多，多角度分析，全面考虑，提高逻辑推理能力．(3)对有附加条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题，然后再用分类计数原理或分步计数原理求解．第27页◎思考题3(1)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有()A．70种B．80种C．100种D．140种第28页【解析】方法一(间接法)当选择的3名医生都是男的或都是女的时候，共有C53＋C43＝14种方法，从9人中选择3人一共有C93＝84种方法，所以要求男，女都有，共有84－14＝70种组队方法．方法二(直接法)当队中有一名女医生时，有C41C52＝40种组法，当队中有2名女医生时，有C42C51＝30种组法，综上，共有70种组队方法．【答案】A第29页(2)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A．6种B．12种C．30种D．36种第30页【解析】甲、乙两人从4门课程中各选修2门的选法共有C42×C42＝36种，而甲、乙所选的课程中全部相同的选法共有C42＝6种，所以甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有36－6＝30种，选C.【答案】C第31页课后巩固第32页1．某车辆维修厂有甲、乙、丙3名工人，其中甲、乙都会维修摩托车与汽车，丙只会维修摩托车．现在要从这3名工人中选2名分别去维修摩托车与汽车，不同的选派方法有()A．6种B．5种C．4种D．3种第33页答案C解析若选甲、乙，有2种选派方法；若选甲、丙，有1种选派方法；若选乙、丙，有1种选派方法．故共有2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法．第34页2．(2015·南昌高二期末)新学期开始，某校接受6名师大毕业生到校学习．学校要把他们分配到三个年级，每个年级2人，其中甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为()A．18B．15C．12D．9第35页答案D解析先安排高三年级，从除甲、乙、丙外的3人中选2人，有C32种选法；再安排高一年级，有C31种方法，最后安排高二年级，有C22种方法．由分步乘法计数原理，不同的安排种数为C32C31C22＝9.第36页3．(2015·北京海淀区期末)某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班，选课结束后，有4名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有()A．72种B．54种C．36种D．18种第37页答案B解析依题意，按要求改修数学的4名同学分配到三个班的具体人数分类：第一类，其中一个班接收2名，另两个班各接收1名，分配方案共有C31·C42·A22＝36(种)；第二类，其中一个班不接收，另两个班各接收2名，分配方案共有C31·C42＝18(种)．因此，满足题意的不同的分配方案有36＋18＝54(种)．第38页4．(2015·连云港高二期末)有4种不同的蔬菜，从中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行实验，则不同的种植方法共________种．第39页答案24解析种植的情况分两步完成：第1步，从4种不同的蔬菜中选出3种，有C43种方法；第2步，把选出的3种蔬菜分别种植在不同土质的3块土地上，有A33种方法．由分步乘法计数原理，不同的种植方法共有C43·A33＝24(种)．第40页5．(2015·厦门高二期末)电影院某排有6个座位连成一排，三人就座，恰好只有2个空座位相邻的不同的坐法共有________种．(用数字作答)第41页答案72解析把3个空座位分成两组，2个相邻的，1个单一放置的．不同的坐法分步完成：先让三个人坐3个位置(不考虑空座位)，有A33种坐法；再把两组不同的空座位插入到三个人产生的四个空当里，有A42种方法．由分步乘法计数原理，不同坐法有A33·A42＝6×12＝72(种)．第42页