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第1页§2排列第二课时排列的应用(一)第2页1.排列应用题的最基本的解法(1)直接法:以元素为考查对象,先满足特殊元素的要求,再考虑一般元素(又称为元素分析法);或以位置为考查对象,先满足特殊位置的要求,再考虑一般位置(又称位置分析法).(2)间接法:先不考虑附加条件,计算出总排列数,再减去不合要求的排列数.第3页2.解与排列有关的应用题时应注意以下几点(1)注意排列的有序性,分清全排列与选排列,防止重复与遗漏.(2)对受限制条件的位置与元素应首先排列,并适当选择直接法或间接法.(3)同一问题,有时从位置分析法入手较为方便,有时从元素分析法入手较为方便,应注意灵活运用.第4页(4)要通过解答排列应用题,深化对分步计数原理和分类计数原理的认识,培养“全局分类”和“局部分步”的意识,并在具体操作中确保两点:一是分类要使得各类的并集等于全集,任意两类的交集为空集,这样才能不重不漏;二是分步要使得各步具有连续性、独立性,也要保证“不重不漏”.在分类与分步的过程中,要善于画树形图.第5页课时学案第6页题型一元素分析法例1(1)9名同学排成一排,在下列条件下各有多少种不同的排法:①甲只能在中间或两头位置;②甲、乙两人必须排在两头.(2)用0,1,2,3这4个数字能组成多少个没有重复数字的四位数?第7页【解析】(1)①将9个元素(同学)分成两类:甲为特殊元素,其余8人为一般元素,所以完成这件事需分两步:先排甲有A31种方法,再排另外8人有A88种.∴共有A31·A88=120960(种).②先排甲、乙两人有A22种方法,再排其余7人有A77种方法.∴共有A22·A77=10080(种).(2)0为特殊元素,1、2、3为一般元素,先排0有A31种方法,再排1、2、3有A33种方法,∴共有A31·A33=18(个).第8页探究1元素分析法,关键分清哪些是特殊元素,哪些是一般元素,特殊元素优先考虑.第9页◎思考题1(1)7人排成两排,前排3人,后排4人,若甲必须在前排,乙必须在后排,则共有________种不同的排法.【解析】A31·A41·A55=1440.【答案】1440第10页(2)安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙两人都不安排在5月1日和2日.不同的安排方法共有________种.(用数字作答)【解析】将人视为元素,日期视为位置,先安排甲、乙两人有A52种方法,再安排其余5人,有A55种方法.由分步计数原理知共有A52·A55=2400种.【答案】2400第11页题型二位置分析法例2用0,1,2,3,4,5,这六个数字组成的无重复数字的四位数中:(1)有多少个奇数;(2)有多少个偶数;(3)有多少个大于3125的数.第12页【解析】(1)本题是有限制条件的数字排列问题,条件是末位必须排1,3,5,首位不能排0.第一步:排末位有A31种方法:第二步:排首位有A41种方法;第三步:排中间两个位置有A42种方法,∴共有A31·A41·A42=144种方法.第13页(2)若用(1)中的方法,先排末位有A31种方法(从0,2,4中选一个)则排首位就涉及到末位排的是0还是2,4中的一个,所以,本小题需分类讨论:①若末位排0,则有A53个;②若末位不排0,则末位有A21种排法.再排首位有A41种,再排中间两位有A42种,∴末位不是0的有A21·A41·A42个.由①②知,共有A53+A21A41A42=156(个).第14页(3)第一类:首位可排4,5,有A21种,其余各位有A53种,此类共有A21·A53种;第二类:首位排3,下一位可排2,4,5有A31种,其余两位有A42种,此类共有A31A42种;第三类:首位排3,下一位排1,第三位可排4,5中的一个有A21种,第四位可从剩下的3个数中取一个有A31种,∴此类共A21A31种,因此,大于3125的数共有:A21A53+A31A42+A21A31=162(个).第15页探究2关于数字排列问题是排列组合问题中的常见题目,其解法仍是从分析特殊元素或特殊位置入手,恰当分类(或分步),如果问题中涉及到元素“0”,那么0往往是分类的关键.第16页◎思考题2(1)用0,1,2,3,4这五个数字中的三位数字,组成无重复数字的三位数,则共有________个偶数.【解析】三位数百十个为偶数,则个位数为偶数,分三类:第一类:××0型,有A42=12个.第17页第二类:××2型,有A42-3=9个.第三类:××4型,有A42-3=9个.由分类加法计数原理共有12+9+9=30个.【答案】30第18页(2)在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有________个.【解析】不能被5整除实质上是末位数字不是0或5,用间接法.所有4位数有A51·A53=300个.末位为0时有A53=60个,末位为5时有A41·A42=4×12=48个,∴共有300-60-48=192个.【答案】192第19页题型三间接法(去杂法)例3(1)6个人站成一排.①若甲不站在排头,也不站在排尾,有多少种不同的排法?②若甲不站在排头,乙不站在排尾,有多少种不同的排法?(2)用0,1,2,3,4这5个数字能组成多少个没有重复数字的四位数?第20页【思路】间接法(去杂法)就是总排列数减去不合条件的排列数.第21页【解析】(1)6个人总的排法为A66=720种.①甲站在排头或排尾的排法为A21·A55=240种,故甲不在排头,也不在排尾的排法共有720-240=480(种).②甲站排头或乙站排尾的排法都是A55=120种,又甲站排头同时乙站排尾的排法为A44=24种.故甲不站排头,乙不站排尾的站法共有A66-2A55+A44=504(种)第22页(2)5个数字占4个位置,共有A54=120种,其中0占首位即形成0×××的数有A43=24个.故符合条件的4位数有A54-A43=96(个).第23页探究3间接法是经常用到的一种方法,有两个关键点:第一,排列数总数是多少;第二,不符合条件的排列数又有多少.其中第二点中往往采用特殊元素(或位置)法.第24页◎思考题3(1)上午有语文、数学、外语和体育四门功课,体育不排在第一节,数学不排在第四节,则不同的排课方案共有()A.10种B.12种C.14种D.20种【解析】A44-2A33+A22=14.【答案】C第25页(2)设直线的方程是Ax+By=0,从1,2,3,4,5这五个数中每次取两个不同的数作为A,B的值,则所得不同直线的条数是()A.20B.19C.18D.16【解析】排列总数为A52=20,其中重合的有x+2y=0与2x+4y=0;2x+y=0与4x+2y=0.∴共有A52-2=18(条),故选C.【答案】C第26页(3)由0,1,2,3这四个数字可以组成没有重复数字且不能被5整除的四位数的个数是()A.24B.12C.6D.4【解析】排列总数A44=24,其中0排在个位(能被5整除)有A33=6个;0排在首位(不是四位数)有A33=6个.∴共有A44-2A33=12个.【答案】B第27页题型四一题多解例4从8个人中选出3个进行排队,其中甲若参加排队,一定要排在两端,其不同排法共有()A.294种B.278种C.252种D.362种第28页【解析】法1:甲先从两端选一个位置,有A21种选法,其余有A72种排法;甲不参排,则有A73种排法.∴共有A21A72+A73=294.选A.法2:中间是一个特殊位置(甲不能站),先排中间位置有A71种方法.再排两端,有A72种方法,由分步计数原理可知,共有A71·A72=294种不同排法.选A.第29页法3:8人中选3人排队,排列总数为A83,其中甲在中间的排法有A11·A72=A72种,故符合条件的排列总数为A83-A72=294种,选A.【答案】A第30页探究4(1)一题多解有益于学习的提高,每个人思考问题的切入点不同,就会得到不同的方法.(2)如何才能做到一题多解呢?①自己想;②多看参考书;③同学之间经常交流.第31页◎思考题4由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字,并且比13000大的正整数?【思路】这是一个有限定条件的有关数字的排列问题,解决这类问题时,一般利用位置分析法、元素分析法或间接法.第32页【解析】方法一(间接法)五个数字的全排列共有A55种,其中1在万位,2在千位的数字共有A33个,则共有A55-A33=120-6=114个符合要求的5位数.方法二(元素分析法)当1在首位时,2不能在千位,故此时有A31·A33=18个数满足条件;当1不在首位时,共有A41·A44=96个数满足条件,故共有18+96=114个符合要求的5位数.第33页课后巩固第34页1.5名男生和1名女生排成一排,这名女生不在排头也不在排尾的排法种数有()A.720种B.600种C.480种D.240种答案C解析先排女生有A41种,再排5名男生有A55种,共有A41·A55=480种.第35页2.从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三种不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有()A.108种B.186种C.216种D.270种答案B解析可选用间接法解决:A73-A43=186(种),故选B.第36页3.用1,2,3,4,5这五个数字可以组成比20000大,且百位数字不是3的没有重复数字的五位数共有()A.96个B.78个C.72个D.64个答案B解析可先考虑特殊位置,分类讨论.第37页4.由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,按从小到大的顺序排成一个数列{an},则a72等于()A.1543B.2543C.3542D.4532第38页答案C解析千位数为1时组成的四位数有A43个,同理,千位数是2,3,4,5时均有A43=24(个)数,而千位数字为1,2,3时,从小到大排成数列的个数为3A43=72,即3542是第72个(最大).第39页5.若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了,则可能出现的错误的种数为()A.20B.19C.10D.9第40页答案B解析五个字母中只要确定e和o的位置,另外三个都是r,故有A52=20种不同排列.其中只有一种是正确的,所以可能出现的错误有20-1=19种,选B.第41页6.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项工作,若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作,则选派方案共有________种.第42页答案240解析(位置分析法)第一步:从除去甲乙的4人中选1人从事翻译工作,有A41种方法;第二步:从剩余的5人中选3人从事另外三项工作,有A53种方法.∴共有A41·A53=240种不同的方案.第43页
本文标题:2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1-2-2 排列的应用(一)课件 北师大版选修2-
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