2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1-2-2 排列的应用（一）课件 北师大版选修2-

第1页§2排列第二课时排列的应用(一)第2页1．排列应用题的最基本的解法(1)直接法：以元素为考查对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称为元素分析法)；或以位置为考查对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法)．(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数．第3页2．解与排列有关的应用题时应注意以下几点(1)注意排列的有序性，分清全排列与选排列，防止重复与遗漏．(2)对受限制条件的位置与元素应首先排列，并适当选择直接法或间接法．(3)同一问题，有时从位置分析法入手较为方便，有时从元素分析法入手较为方便，应注意灵活运用．第4页(4)要通过解答排列应用题，深化对分步计数原理和分类计数原理的认识，培养“全局分类”和“局部分步”的意识，并在具体操作中确保两点：一是分类要使得各类的并集等于全集，任意两类的交集为空集，这样才能不重不漏；二是分步要使得各步具有连续性、独立性，也要保证“不重不漏”．在分类与分步的过程中，要善于画树形图．第5页课时学案第6页题型一元素分析法例1(1)9名同学排成一排，在下列条件下各有多少种不同的排法：①甲只能在中间或两头位置；②甲、乙两人必须排在两头．(2)用0，1，2，3这4个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？第7页【解析】(1)①将9个元素(同学)分成两类：甲为特殊元素，其余8人为一般元素，所以完成这件事需分两步：先排甲有A31种方法，再排另外8人有A88种．∴共有A31·A88＝120960(种)．②先排甲、乙两人有A22种方法，再排其余7人有A77种方法．∴共有A22·A77＝10080(种)．(2)0为特殊元素，1、2、3为一般元素，先排0有A31种方法，再排1、2、3有A33种方法，∴共有A31·A33＝18(个)．第8页探究1元素分析法，关键分清哪些是特殊元素，哪些是一般元素，特殊元素优先考虑．第9页◎思考题1(1)7人排成两排，前排3人，后排4人，若甲必须在前排，乙必须在后排，则共有________种不同的排法．【解析】A31·A41·A55＝1440.【答案】1440第10页(2)安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙两人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有________种．(用数字作答)【解析】将人视为元素，日期视为位置，先安排甲、乙两人有A52种方法，再安排其余5人，有A55种方法．由分步计数原理知共有A52·A55＝2400种．【答案】2400第11页题型二位置分析法例2用0，1，2，3，4，5，这六个数字组成的无重复数字的四位数中：(1)有多少个奇数；(2)有多少个偶数；(3)有多少个大于3125的数．第12页【解析】(1)本题是有限制条件的数字排列问题，条件是末位必须排1，3，5，首位不能排0.第一步：排末位有A31种方法：第二步：排首位有A41种方法；第三步：排中间两个位置有A42种方法，∴共有A31·A41·A42＝144种方法．第13页(2)若用(1)中的方法，先排末位有A31种方法(从0，2，4中选一个)则排首位就涉及到末位排的是0还是2，4中的一个，所以，本小题需分类讨论：①若末位排0，则有A53个；②若末位不排0，则末位有A21种排法．再排首位有A41种，再排中间两位有A42种，∴末位不是0的有A21·A41·A42个．由①②知，共有A53＋A21A41A42＝156(个)．第14页(3)第一类：首位可排4，5，有A21种，其余各位有A53种，此类共有A21·A53种；第二类：首位排3，下一位可排2，4，5有A31种，其余两位有A42种，此类共有A31A42种；第三类：首位排3，下一位排1，第三位可排4，5中的一个有A21种，第四位可从剩下的3个数中取一个有A31种，∴此类共A21A31种，因此，大于3125的数共有：A21A53＋A31A42＋A21A31＝162(个)．第15页探究2关于数字排列问题是排列组合问题中的常见题目，其解法仍是从分析特殊元素或特殊位置入手，恰当分类(或分步)，如果问题中涉及到元素“0”，那么0往往是分类的关键．第16页◎思考题2(1)用0，1，2，3，4这五个数字中的三位数字，组成无重复数字的三位数，则共有________个偶数．【解析】三位数百十个为偶数，则个位数为偶数，分三类：第一类：××0型，有A42＝12个．第17页第二类：××2型，有A42－3＝9个．第三类：××4型，有A42－3＝9个．由分类加法计数原理共有12＋9＋9＝30个．【答案】30第18页(2)在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有________个．【解析】不能被5整除实质上是末位数字不是0或5，用间接法．所有4位数有A51·A53＝300个．末位为0时有A53＝60个，末位为5时有A41·A42＝4×12＝48个，∴共有300－60－48＝192个．【答案】192第19页题型三间接法(去杂法)例3(1)6个人站成一排．①若甲不站在排头，也不站在排尾，有多少种不同的排法？②若甲不站在排头，乙不站在排尾，有多少种不同的排法？(2)用0，1，2，3，4这5个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？第20页【思路】间接法(去杂法)就是总排列数减去不合条件的排列数．第21页【解析】(1)6个人总的排法为A66＝720种．①甲站在排头或排尾的排法为A21·A55＝240种，故甲不在排头，也不在排尾的排法共有720－240＝480(种)．②甲站排头或乙站排尾的排法都是A55＝120种，又甲站排头同时乙站排尾的排法为A44＝24种．故甲不站排头，乙不站排尾的站法共有A66－2A55＋A44＝504(种)第22页(2)5个数字占4个位置，共有A54＝120种，其中0占首位即形成0×××的数有A43＝24个．故符合条件的4位数有A54－A43＝96(个)．第23页探究3间接法是经常用到的一种方法，有两个关键点：第一，排列数总数是多少；第二，不符合条件的排列数又有多少．其中第二点中往往采用特殊元素(或位置)法．第24页◎思考题3(1)上午有语文、数学、外语和体育四门功课，体育不排在第一节，数学不排在第四节，则不同的排课方案共有()A．10种B．12种C．14种D．20种【解析】A44－2A33＋A22＝14.【答案】C第25页(2)设直线的方程是Ax＋By＝0，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A，B的值，则所得不同直线的条数是()A．20B．19C．18D．16【解析】排列总数为A52＝20，其中重合的有x＋2y＝0与2x＋4y＝0；2x＋y＝0与4x＋2y＝0.∴共有A52－2＝18(条)，故选C.【答案】C第26页(3)由0，1，2，3这四个数字可以组成没有重复数字且不能被5整除的四位数的个数是()A．24B．12C．6D．4【解析】排列总数A44＝24，其中0排在个位(能被5整除)有A33＝6个；0排在首位(不是四位数)有A33＝6个．∴共有A44－2A33＝12个．【答案】B第27页题型四一题多解例4从8个人中选出3个进行排队，其中甲若参加排队，一定要排在两端，其不同排法共有()A．294种B．278种C．252种D．362种第28页【解析】法1：甲先从两端选一个位置，有A21种选法，其余有A72种排法；甲不参排，则有A73种排法．∴共有A21A72＋A73＝294.选A.法2：中间是一个特殊位置(甲不能站)，先排中间位置有A71种方法．再排两端，有A72种方法，由分步计数原理可知，共有A71·A72＝294种不同排法．选A.第29页法3：8人中选3人排队，排列总数为A83，其中甲在中间的排法有A11·A72＝A72种，故符合条件的排列总数为A83－A72＝294种，选A.【答案】A第30页探究4(1)一题多解有益于学习的提高，每个人思考问题的切入点不同，就会得到不同的方法．(2)如何才能做到一题多解呢？①自己想；②多看参考书；③同学之间经常交流．第31页◎思考题4由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13000大的正整数？【思路】这是一个有限定条件的有关数字的排列问题，解决这类问题时，一般利用位置分析法、元素分析法或间接法．第32页【解析】方法一(间接法)五个数字的全排列共有A55种，其中1在万位，2在千位的数字共有A33个，则共有A55－A33＝120－6＝114个符合要求的5位数．方法二(元素分析法)当1在首位时，2不能在千位，故此时有A31·A33＝18个数满足条件；当1不在首位时，共有A41·A44＝96个数满足条件，故共有18＋96＝114个符合要求的5位数．第33页课后巩固第34页1．5名男生和1名女生排成一排，这名女生不在排头也不在排尾的排法种数有()A．720种B．600种C．480种D．240种答案C解析先排女生有A41种，再排5名男生有A55种，共有A41·A55＝480种．第35页2．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有()A．108种B．186种C．216种D．270种答案B解析可选用间接法解决：A73－A43＝186(种)，故选B.第36页3．用1，2，3，4，5这五个数字可以组成比20000大，且百位数字不是3的没有重复数字的五位数共有()A．96个B．78个C．72个D．64个答案B解析可先考虑特殊位置，分类讨论．第37页4．由1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a72等于()A．1543B．2543C．3542D．4532第38页答案C解析千位数为1时组成的四位数有A43个，同理，千位数是2，3，4，5时均有A43＝24(个)数，而千位数字为1，2，3时，从小到大排成数列的个数为3A43＝72，即3542是第72个(最大)．第39页5．若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数为()A．20B．19C．10D．9第40页答案B解析五个字母中只要确定e和o的位置，另外三个都是r，故有A52＝20种不同排列．其中只有一种是正确的，所以可能出现的错误有20－1＝19种，选B.第41页6．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有________种．第42页答案240解析(位置分析法)第一步：从除去甲乙的4人中选1人从事翻译工作，有A41种方法；第二步：从剩余的5人中选3人从事另外三项工作，有A53种方法．∴共有A41·A53＝240种不同的方案．第43页