2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.2.1 排列 第1课时 排列与排列数公式课件

第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列第1课时排列与排列数公式第一章计数原理考点学习目标核心素养排列的概念理解排列、排列数的定义能正确区分排列和排列数数学抽象排列的列举问题能用列举法、“树形图”表示出一个排列问题的所有排列逻辑推理、数学运算排列数的计算或证明识记排列数公式并能进行相关计算或证明数学运算问题导学预习教材P14～P20的内容，并思考下列问题：1.排列的概念是什么？2.排列数的定义是什么？3.排列数公式是什么？4.排列数公式有哪些性质？1.排列(1)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照____________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)两个排列相同，当且仅当两个排列的元素__________，且元素的__________也相同.一定的顺序完全相同排列顺序■名师点拨排列中元素所满足的两个特性(1)无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题.(2)有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序.2.排列数及排列数公式排列数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有__________的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数表示法_____全排列n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m＝n，即有Ann＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1Amn不同排列阶乘正整数从1到n的连乘积叫做n的阶乘，用n！表示排列数公式乘积式Amn＝________________________________阶乘式Amn＝__________性质Ann＝_____，0！＝___备注n，m∈N*，m≤nn！（n－m）！n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！1■名师点拨排列数是指“从n个不同的元素中取出m个元素的所有不同排列的个数”，即排列共有多少种形式，它是一个数．因此，Amn只代表排列数，而不表示具体的排列.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．()(2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．()(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．()(4)从四个不同元素中任取三个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．()×√××下面问题中，是排列问题的是()A．由1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数B．从60人中选11人组成足球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合答案：AA24＝________，A33＝________.答案：126若Am10＝10×9×…×5，则m＝________.答案：6判断下列问题是否为排列问题.(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10个人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信.排列概念的理解【解】(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.(3)，(4)不存在顺序问题，不属于排列问题.(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题.所以在上述各题中(2)，(5)，(6)属于排列问题.判断一个具体问题是否为排列问题的方法1.从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题()A．1B．2C．3D．4解析：选B．因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题．而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题.2.判断下列问题是否是排列问题，并说明理由.(1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B；(2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动；(3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和；(4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商；(5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上.解：(1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中.(2)不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分.(3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求.(4)是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分子、分母的顺序颠倒而发生变化，且这些三位数是互质的，不会产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列.(5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生.四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来.排列的列举问题【解】先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理，有4×3×2×1＝24(种).画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.1.[变条件]若本例条件再增加一条“A不坐排头”，则结论如何？解：画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA，共18种.2.[变条件]若在本例条件中再增加一条“A，B不相邻”，则结论如何？解：画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CADB，CBDA，DACB，DBCA，共12种.利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式.(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．1.写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列.解：由题意作“树形图”，如下.故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.2.某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同的试验方法.解：如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种.求解下列问题：(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*，且n55).(2)计算2A58＋7A48A88－A59.(3)解方程：A42x＋1＝140A3x.排列数的计算或证明【解】(1)因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A1569－n.(2)2A58＋7A48A88－A59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝8×7×6×5×（8＋7）8×7×6×5×（24－9）＝1.(3)根据原方程，x应满足2x＋1≥4，x≥3，x∈N*，解得x≥3，x∈N*.根据排列数公式，原方程化为(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)＝140x·(x－1)·(x－2).因为x≥3，两边同除以4x(x－1)，得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)，即4x2－35x＋69＝0，解得x＝3或x＝534(因为x为整数，所以应舍去).所以原方程的解为x＝3.应用排列数公式时应注意的三个方面(1)准确展开．应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确.(2)合理约分．若运算式是分式形式，则要先约分后计算.(3)合理组合．运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性．1.下列各式中与排列数Amn相等的是()A．n！（m－n）！B．n(n－1)(n－2)…(n－m)C．nn－m＋1An－1nD．A1n·Am－1n－1解析：选D．因为Amn＝n！（n－m）！，A1n·Am－1n－1＝n·（n－1）！[n－1－（m－1）]！＝n·（n－1）！（n－m）！＝n！（n－m）！，所以Amn＝A1n·Am－1n－1.2.解不等式：Ax86Ax－28.解：原不等式即为8！（8－x）！6×8！（10－x）！，化简得x2－19x＋840，解得7x12.因为8≥x，x－2≥1，即3≤x≤8，且x∈N*，所以x＝8.3.求证：Amn＋1－Amn＝mAm－1n.证明：左边＝（n＋1）！（n＋1－m）！－n！（n－m）！＝n！（n－m）！·n＋1n＋1－m－1＝n！（n－m）！·mn＋1－m＝m·n！（n＋1－m）！＝mAm－1n，故原等式成立.1.A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为()A．3种B．4种C．6种D．12种解析：选C．所有的排法有A—B—C，A—C—B，B—A—C，B—C—A，C—A—B，C—B—A，共6种.2.由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数有()A．9个B．12个C．15个D．18个解析：选B．本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：由此可知共有12个.3.A345！＝________.解析：A345！＝4×3×25×4×3×2×1＝15.答案：154.从0，1，2，3这四个数字中，每次取出3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数.解：大于200的三位数的首位是2或3，于是大于200的三位数有：201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.