2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合 第2课时 组

第2课时组合的综合应用课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练知识点排列与组合的联系和区别排列与组合的共同点都是“从n个不同元素中，任取m个元素”，如果交换两个元素的位置对结果产生影响，就是；反之，如果交换两个元素的位置对结果没有影响，就是简而言之，与顺序有关，与顺序无关．□01排列问题□02组合问题．□03排列问题□04组合问题课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练知识点解排列组合综合题的思路解决该问题的一般思路是先选后排，先后，解题时应灵活运用原理和原理．分类时，注意各类中是否分步，分步时注意各步中是否分类．□01组合□02排列□03分类加法计数□04分步乘法计数课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练利用组合知识解决与几何有关的问题，要注意：(1)将已知条件中的元素的特征搞清，是用直接法还是间接法；(2)要使用分类方法，至于怎样确定分类的标准，这是一个难点，要具体问题具体分析；(3)常用间接法解决该类问题．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)3个相同的小球放入5个不同的盒子中，每盒至多放一个球，这个问题是排列问题．()(2)3个不同的小球放入5个不同的盒子中，每盒至多放一个球，这个问题是组合问题．()(3)将9本不同的书分成三堆是平均分组问题．()×√×课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(1)4种不同的种子，选出3块不同的土地，每一块地只能种一种，则不同的种法有________种．(2)从3名女生、4名男生中选4人担任奥运会志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________种．(3)将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．答案(1)24(2)34(3)360答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析(1)C34A33＝24(种)．(2)C47－C44＝34(种)．(3)C16C25C33A33＝360(种).解析课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1有限制条件的组合问题例1男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长，又要有女运动员．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解](1)第一步：选3名男运动员，有C36种选法；第二步：选2名女运动员，有C24种选法，故共有C36·C24＝120种选法．(2)解法一：(直接法)“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理知共有C14·C46＋C24·C36＋C34·C26＋C44·C16＝246种选法．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解法二：(间接法)不考虑条件，从10人中任选5人，有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种，故“至少有1名女运动员”的选法有C510－C56＝246(种)．(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有C49种选法；不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法，其中不含女运动员的选法有C45种，故不选女队长时共有C48－C45种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191(种)．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”，其中用直接法求解时，应依据“特殊元素优先安排”的原则，即优先安排特殊元素，再安排其他元素．而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大时，不妨从反面问题入手，试一试看是否简单些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此．此时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[跟踪训练1]有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名英、日都精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单共可开出几张？解解法一：按“英、日都会的人”的参与情况，可分为三类：第一类，“英日都会”的人不参加，有C45C44种；第二类，“英日都会”的人有1人参加，该人可参加英语，也可参加日语，共有C12C35C44＋C12C45C34种；第三类，“英日都会”的均参加共有C35C34A22＋C25C44＋C45C24种．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练由分类加法原理可得共有C45C44＋C12C35C44＋C12C45C34＋C35C34A22＋C25C44＋C45C24＝185种．解法二：按“英日都会”的人参加英语翻译的人数可分为三类．第一类，“英日都会”的人不参加英语翻译，有C45C46种；第二类，“英日都会”的人恰有一人参与英语翻译，共有C12C35C45种；第三类，“英日都会”的人全部参与英语翻译共有C25C44种．由分类加法原理可得共有C45C46＋C12C35C45＋C25C44＝185种．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究2与几何有关的组合问题例2如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.问：(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作多少个？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个为顶点，可作出多少个四边形？课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解](1)C36＋C16·C24＋C26·C14＝116(个)．其中以C1为顶点的三角形有C25＋C15·C14＋C24＝36(个)．(2)C46＋C36·C16＋C26·C26＝360(个)．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升(1)解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．(2)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．(3)在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构造模型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[跟踪训练2](1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解(1)(直接法)如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面共有3C35种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，与顶点A共面的三点的取法有3C35＋3＝33(种)．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)(间接法)如图，从10个点中取4个点的取法有C410种，除去4点共面的取法种数可以得到结果．从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面．有4C46＝60(种)，四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分)，故4点不共面的取法为C410－(60＋6＋3)＝141(种)．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究3分组、分配问题角度1：不同元素分组、分配问题例36本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解](1)先从6本书中选2本给甲，有C26种选法；再从其余的4本中选2本给乙，有C24种选法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有C22种选法；所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有C26C24C22＝90种方法．(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有C26C24C22种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A33种方法．根据分步乘法计数原理可得：C26C24C22＝xA33，所以x＝C26C24C22A33＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)这是“不均匀分组”问题，一共有C16C25C33＝60种方法．(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有C16C25C33A33＝360种方法．(5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有C26C24C22＝90种方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有C16C25C33A33＝360种方法；③“1、1、4型”，有C46A33＝90种方法．所以一共有90＋360＋90＝540种方法．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升“分组”与“分配”问题的解法(1)本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题，搞清楚类型的归属对解题大有裨益．要分清是分组问题还是分配问题，这个是很关键的．(2)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，最后必须除以组数的阶乘；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(3)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[跟踪训练3]按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？(1)各组人数分别为2,4,6人；(2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解(1)C212C410C66＝13860.(2)C412C48C44A33＝5775.(3)分两步：第一步平均分三组，第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有C412C48C44A33·A33＝C412·C48·C44＝34650种不同的分法．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练角度2：相同元素分配问题例46个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解](1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C35＝10(种)．(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C25种插法；然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C14种插法，故共有C25·C14＝40(种)．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C15种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有C23种插法．②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||