2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合 第1课时 组

第1课时组合与组合数公式课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练知识点组合的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．□01合成一组课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练知识点组合与组合数公式课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，表示与元素的顺序无关，排列与组合的相同点是从n个不同元素中任取m个元素，不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元素有无顺序．组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在mn2时，通常不直接计算Cmn而改为Cn－mn，对于性质2，Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n要会正用、逆用、变形用．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C23.()(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．()(3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．()(4)C35＝5×4×3＝60.()×√√×课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________．(2)C1820＝________.(3)C399＋C299＝________.答案(1)20(2)190(3)161700答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析(1)由组合数公式知C36＝6×5×43×2×1＝20.(2)C1820＝C220＝20×192×1＝190.(3)C399＋C299＝C3100＝100×99×983×2×1＝161700.解析课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1组合的有关概念例1给出下列问题：(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？(2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？[解](1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题．(6)命中的4枪中恰有3枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[跟踪训练1]判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？(2)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？(3)从a，b，c，d这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？(4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解(1)从集合A中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此此问题，只与取出的元素有关，与元素的顺序无关，故是组合问题．(2)从集合A中取出两个数相除，若改变其分子、分母的位置，其结果就不同，因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题．(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题．(4)四人互发电子邮件，由于发信人与收信人是有区别的，与顺序有关，是排列问题．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究2组合数及组合数性质的运用例2(1)计算：C410－C37·A33；(2)已知1Cm5－1Cm6＝710Cm7，求Cm8；(3)求C38－n3n＋C3n21＋n的值；(4)证明：mCmn＝nCm－1n－1.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解](1)原式＝C410－A37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)原方程可化为m！5－m！5！－m！6－m！6！＝7×7－m！m！10×7！，即m！5－m！5！－m！6－m5－m！6×5！答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练＝7×m！7－m6－m5－m！10×7×6×5！，∴1－6－m6＝7－m6－m60，即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21(不符合题意，舍去)．∴Cm8＝C28＝28.(3)∵38－n≤3n，3n≤21＋n，∴9.5≤n≤10.5，∵n∈N*，∴n＝10，∴C38－n3n＋C3n21＋n＝C2830＋C3031＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(4)证明：mCmn＝m·n！m！n－m！＝n·n－1！m－1！n－m！＝n·n－1！m－1！n－m！＝nCm－1n－1.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升(1)像排列数公式一样，公式Cmn＝nn－1n－2…n－m＋1m！一般用于计算；而公式Cmn＝n！m！n－m！及Cmn＝AmnAmm一般用于证明、解方程(不等式)等．(2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“m≤n且m，n∈N*”的运用．如本例(3)．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)要注意公式Amn＝CmnAmm的逆向运用，如本例(1)中可利用“C37A33＝A37”简化计算过程．(4)本例(4)所推导的结论“mCmn＝nCm－1n－1”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[跟踪训练2](1)①求值：C5－nn＋C9－nn＋1；②求证：Cmn＝m＋1n－mCm＋1n.(2)计算：①C58＋C98100·C77；②C05＋C15＋C25＋C35＋C45＋C55；③Cnn＋1·Cn－1n.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解(1)①5－n≤n，5－n≥0，9－n≤n＋1，9－n≥0，解得4≤n≤5.又因为n∈N*，所以n＝4或n＝5.当n＝4时，原式＝C14＋C55＝5，当n＝5时，原式＝C05＋C46＝16.②证明：因为Cmn＝n！m！n－m！，m＋1n－mCm＋1n＝m＋1m＋1！·n！n－mn－m－1！＝n！m！n－m！，所以Cmn＝m＋1n－mCm＋1n.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)①原式＝C38＋C2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4950＝5006.②原式＝2(C05＋C15＋C25)＝2(C16＋C25)＝2×6＋5×42×1＝32.③原式＝C1n＋1·C1n＝(n＋1)n＝n2＋n.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究3简单的组合问题例3现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)从中选出2名男教师或2名女教师去外地学习，有多少种不同的选法？(3)从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解](1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C210＝10×92×1＝45种不同的选法．(2)可把问题分两类：第1类，选出2名男教师，有C26种方法；第2类，选出2名女教师，有C24种方法，即共有C26＋C24＝21种不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C24种，根据分步乘法计数原理，共有C26·C24＝6×52×1×4×32×1＝90种不同的选法．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[跟踪训练3]在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解(1)从中任取5人是组合问题，共有C512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练随堂达标自测课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．下列问题不是组合问题的是()A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C．集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三个元素的子集有多少个？D．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？答案D答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D.解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．若C7n＋1－C7n＝C8n，则n等于()A．12B．13C．14D．15解析C7n＋1＝C7n＋C8n＝C8n＋1，∴n＋1＝7＋8，n＝14，故选C.解析答案C答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有()A．A310种B．C310种C．C310A310种D．30种解析三张票没区别，从10人中选3人即可，即C310，故选B.解析答案B答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练4．若C4nC6n，则n的集合是________．解析∵C4nC6n，∴C4nC6n，n≥6⇒n！4！n－4！n！6！n－6！，n≥6⇒n2－9n－100，n≥6⇒－1n10，n≥6.∵n∈N*，∴n＝6,7,8,9.∴n的集合为{6,7,8,9}．解析答案{6,7,8,9}答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标