2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其简单应用目标定位重点难点1.掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．会用分类加法计数原理与分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.重点：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的简单应用．难点：正确理解“完成一件事”的含义.1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．推广：如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_________________种不同的方法．m＋nm1＋m2＋…＋mn2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．推广：如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝____________种不同的方法．m·nm1·m2·…·mn1．某学生去书店，发现2本好书，决定至少要买其中一本，则购买方法共有()A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】C2．某商场共有4个门，购物者若从一个门进，则必须从另一个门出，则不同走法的种数是()A．8B．7C．11D．12【答案】D3．一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选一名同学参加学科比赛，共有不同的选派方法________种．【答案】84．有4名同学参加3项不同的比赛，每名学生必须且只需参加一项比赛，则不同的结果有________种．【答案】81【例1】一班有学生50人，其中男生30人；二班有学生60人，其中女生30人；三班有学生55人，其中男生35人．(1)从中选一名学生任学生会主席，有多少种不同选法？(2)从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部部长，有多少种不同的选法？【解题探究】利用分类加法计数原理求解即可．分类加法计数原理【解析】(1)选一名学生任学生会主席有3类不同的选法．第一类，从一班选一名，有50种不同的方法；第二类，从二班选一名，有60种不同的方法；第三类，从三班选一名，有55种不同的方法．故任选一名学生任学生会主席的选法共有50＋60＋55＝165种．(2)选一名学生任学生会体育部部长有3类不同的选法．第一类，从一班男生中选有30种不同的方法；第二类，从二班男生中选有30种不同的方法；第三类，从三班女生中选有20种不同的方法．故任选一名学生任学生会体育部部长有30＋30＋20＝80种不同的方法．8运用分类加法计数原理要注意“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法．1．有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个，若从三个袋子中任取一个小球，有多少种不同的取法？【解析】从三个袋子中任取一个小球，有3类不同方案．第1类，从第一个袋子中任取一个红色小球，有6种不同的取法；第2类，从第二个袋子中任取一个白色小球，有5种不同的取法；第3类，从第三个袋子中任取一个黄色小球，有4种不同的取法．其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取一个小球都能独立地完成“任取一个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15(种)．【例2】某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选1台检验，有多少种不同的选法？【解题探究】利用分步乘法计数原理求解即可．分步乘法计数原理【解析】从这三种型号的电视机中各选1台检验可分三步完成．第一步，从甲种型号中选1台，有10种不同的方法；第二步，从乙种型号中选1台，有8种不同的方法；第三步，从丙种型号中选1台，有12种不同的方法．根据分步乘法计数原理，得10×8×12＝960(种)．因此共有960种不同的方法．8运用分步乘法计数原理要将“完成一件事”分为若干步，而每个步骤的方法数应易于计算．2．已知a∈3，4，6，b∈1，2，7，8，r∈8，9，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数是多少？【解析】圆的方程由三个量a，b，r确定，a，b，r分别有3种、4种、2种选法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为3×4×2＝24(个)．【例3】某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的1种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，有多少种不同的选法？【解题探究】本题涉及分类加法计数原理与分步乘法计数原理，在分类中又包含分步．两个原理的应用【解析】由题意知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人．按“多面手”的选法分为两类．(1)“多面手”入选，则有6＋2＝8种选法；(2)“多面手”不入选，则有6×2＝12种选法．因此选法共有8＋12＝20(种)．8在解决计数问题时，应认真阅读题目内容，弄清楚题意，才能正确地选择解题方法，另外要把两个原理理解透彻，否则解题时易发生分类不全或分类有叠加的现象，即“重复”和“遗漏”．3．设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种的画布置房间，有几种不同的选法？【解析】(1)分为三类，从国画中选，有5种不同选法；从油画中选，有2种不同选法；从水彩画中选，有7种不同选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14种选法．(2)分为三步，国画、油画、水彩画各有5,2,7种不同选法．根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种选法．(3)分为三类，1幅选自国画，1幅选自油画，有5×2＝10种选法；1幅选自国画，1幅选自水彩画，有5×7＝35种选法；1幅选自油画，1幅选自水彩画，有2×7＝14种选法．再根据分类加法计数原理，共有10＋35＋14＝59种不同选法．【示例】甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，每门学科只有一名冠军产生，有多少种不同的冠军获得情况？未选准分步依据致错错解一：分4步完成这件事．第1步，第一名同学去夺3门学科的冠军，有可能1个也没获得，也可能获得1个或2个或全部，因此，共有4种不同情况；同理，第2,3,4步分别由其他3名同学去夺这3门学科的冠军，都各自有4种不同情况．由分步乘法计数原理知，共有4×4×4×4＝44＝256种不同的冠军获得情况．错解二：分4步完成这件事．第1步，第一名同学去夺3门学科的冠军，有3种不同情况；同理，第2,3,4步分别由其他3名同学去夺这3门学科的冠军，都各自有3种不同情况．由分步乘法计数原理知，共有3×3×3×3＝34＝81种不同的冠军获得情况．错因分析：要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞赛的冠军且每门学科只有一名冠军产生”．但错解一、二中都有可能出现某一学科冠军被2人、3人，甚至4人获得的情形，另外错解一中还可能出现某一学科没有冠军产生的情况．正解：可先举例说出其中的一种情况，如数学、物理、化学知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生一名冠军，才完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分3步．第1步，产生第1个学科冠军，它一定被其中一名同学获得，有4种不同的获得情况；第2步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；第3步，同理，产生第3个学科冠军，也有4种不同的获得情况．由分步乘法计数原理知，共有4×4×4＝43＝64种不同的冠军获得情况．警示：用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据．1．“分类”是加法原理的标志，要做到：(1)遵从分类标准，即在同一标准下进行分类．(2)遵从分类原则，即分类不重不漏，要注意类与类之间的独立性和并列性．分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．2．“分步”是乘法原理的标志：(1)遵从分步标准，即一类中的分步标准的一致性．(2)遵从分步原则，即分步要做到步骤关联，步骤连续，步骤独立，确保对每一类事件的分步不重不漏．1.(2019年内蒙古月考)书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有()A.22种B.350种C.32种D.20种【答案】A【解析】任选一本有三类选法，即选语文书、英语书、数学书，不同的选法分别有10种，7种，5种，由分类加法计数原理可得不同的选法有10+7+5=22种.故选A.2.(2019年天津期末)四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》(每种名著至少有5本)，若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为()A.45B.54C.44D.55【答案】A【解析】每一名同学都有4种选择，由分步乘法计数原理可得不同的借阅方案种数为4×4×4×4×4=45.故选A.3.(2019年山东模拟)工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有__________种．【答案】48【解析】随意拧紧一个螺丝有6种方法，拧紧第二个螺丝只有1种方法，拧紧第三个螺丝有4种方法，拧紧第四个螺丝只有1种方法，拧紧第五个螺丝有2种方法，拧紧第六个螺丝只有1种方法，所以不同的固定方式有6×1×4×1×2×1=48种.4．7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从这7人中选出2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？【解析】按“多面手”的选法分为三类．多面手不选，有3×2＝6种选法；多面手选1人，有2×5＝10种选法；多面手选2人，有2种选法．因此共有6＋10＋2＝18种选法．