2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.2 奇偶性 第一课时 函数奇偶性的定

1.3.2奇偶性第一课时函数奇偶性的定义与判定[目标导航]课标要求1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.3.掌握判断函数奇偶性的方法.素养达成1.通过运用符号表示函数的奇偶性的过程培养数学抽象的核心素养.2.通过函数的奇偶性的证明过程培养逻辑推理的核心素养.3.通过奇偶函数的图象性质培养直观想象的核心素养.新知导学·素养养成1.奇函数、偶函数的定义(1)偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内一个x,都有,那么函数f(x)就叫做偶函数.(2)奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内一个x,都有,那么函数f(x)就叫做奇函数.任意f(-x)=f(x)任意f(-x)=-f(x)思考1:若函数具有奇偶性则它的定义域有何特点?答案:定义域关于原点对称.思考2:对于一个函数来说,它的奇偶性有哪些可能?答案:对于一个函数来说,它的奇偶性有四种可能:是奇函数但不是偶函数;是偶函数但不是奇函数;既是奇函数又是偶函数;既不是奇函数也不是偶函数.2.奇、偶函数的图象特征若函数y=f(x)是偶函数,那么它的图象关于对称;若函数y=f(x)是奇函数,那么它的图象关于对称.思考3:从函数图象看,奇、偶函数在对称区间上单调性是否一致?答案:奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致,偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反.思考4:若函数y=f(x)是奇函数,且点(a,f(a))是y=f(x)图象上一点,点(-a,-f(a))是否在函数图象上?答案:由f(-a)=-f(a)知点(-a,-f(a))一定在函数y=f(x)图象上.y轴原点名师点津(1)函数的奇偶性的对应关系有以下几种形式:①奇函数:f(-x)=-f(x)或f(x)+f(-x)=0或fxfx=-1;②偶函数:f(-x)=f(x)或f(x)-f(-x)=0或fxfx=1.(2)若一个函数是奇函数且在x=0处有定义,则有f(0)=0.(3)设非零函数f(x),g(x)的定义域分别是F,G,若F=G,则奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性如下表所示:f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)·g(x)f[g(x)]偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定奇偶性奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数注意:上述表格中不考虑f(x)±g(x)=0;f[g(x)]中,需x∈G,g(x)∈F.(4)常见的函数(一次、二次、反比例函数)奇偶性如下表所示:函数奇偶性一次函数y=kx+b(k≠0)当b=0时是奇函数;当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数反比例函数y=ax(a≠0)奇函数二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当b=0时是偶函数;当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数课堂探究·素养提升题型一函数奇偶性的判定[例1](12分)判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x3+x;规范解答:(1)函数的定义域为R,关于原点对称.………………1分又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),…………………………2分因此函数f(x)是奇函数.…………………………………………3分(2)f(x)=21x+21x;(3)f(x)=2221xxx;规范解答:(2)由2210,10xx得x2=1,即x=±1.因此函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.………4分又f(1)=f(-1)=-f(-1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数.……………………6分(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),………………7分不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.………8分(4)f(x)=2433xx.规范解答:(4)函数定义域满足240,330.xx故-2≤x≤2,x≠0且x≠-6.则函数定义域为[-2,0)∪(0,2]关于原点对称.………………………10分当x∈[-2,0)∪(0,2]时,x+30.故f(x)=2433xx=24xx.因为f(-x)=24xx=-f(x).………………………………………11分所以f(x)=2433xx是奇函数.…………………………………………12分方法技巧根据函数解析式判断函数奇偶性的方法(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称,若不关于原点对称,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数,若关于原点对称,则进行下一步;(3)结合函数f(x)的定义域,化简函数f(x)的解析式;(4)求f(-x);(5)根据f(-x)与f(x)之间的关系,判断函数f(x)的奇偶性;奇函数、偶函数,既奇又偶函数,非奇非偶函数;其中既奇又偶函数的表达式是f(x)=0,x∈A,A是关于原点对称的非空数集.即时训练1-1:判断函数f(x)=323231,0,31,0xxxxxx的奇偶性.解:函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.①当x0时,-x0,则f(-x)=(-x)3+3(-x)2-1=-x3+3x2-1=-(x3-3x2+1)=-f(x).②当x0时,-x0,则f(-x)=(-x)3-3(-x)2+1=-x3-3x2+1=-(x3+3x2-1)=-f(x).由①②知,当x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,有f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.[备用例1]判断函数f(x)=|x+a|-|x-a|(a∈R)的奇偶性.解:函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),关于原点对称.当a=0时,f(x)=|x+a|-|x-a|=0,函数既是奇函数又是偶函数.当a≠0时,f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x).此时函数为奇函数.综上可知,当a=0时,函数既是奇函数又是偶函数,当a≠0时,函数是奇函数.题型二函数奇偶性的图象特征[例2](1)如图①是奇函数y=f(x)在x0部分的局部图象.请根据奇函数性质比较f(3)与f(5)的大小.解:(1)法一根据奇函数图象关于原点对称的特征,作出奇函数在(0,+∞)部分图象如图③所示,由图可知f(3)f(5).法二由函数的图象可知,函数y=f(x)在[-5,-3]上是减函数,由奇函数图象的性质可知,函数y=f(x)在[3,5]上是减函数,故f(3)f(5).(2)如图②是偶函数y=g(x)在x0部分的图象.试根据图象写出不等式f(x)0的解集.解:(2)根据偶函数y=g(x)的图象关于y轴对称的性质,作出函数y=g(x)在(-∞,0)上的图象如图④所示.由图象可知,f(x)0的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞).方法技巧求解与奇偶函数有关的图象问题,常借助奇偶函数图象的对称性,根据已知的函数部分图象作出函数的另一部分图象,根据图象直观研究函数性质.即时训练2-1:(1)已知奇函数f(x)在区间[1,6]上是增函数,且最大值为10,最小值为4,则在区间[-6,-1]上f(x)的最大值、最小值分别是()(A)-4,-10(B)4,-10(C)10,4(D)不确定解析:(1)依题意,作出函数y=f(x)在[-6,-1]和[1,6]上的图象(草图),如图所示,易知函数y=f(x)在[-6,-1]上的最小值为f(-6)=-f(6)=-10,最大值为f(-1)=-f(1)=-4.因此选A.答案:(1)A(2)已知偶函数f(x)的定义域为[-6,6],当x∈[0,6]时,f(x)的图象如图所示,不等式f(x)≤0的解集用区间表示为.解析:(2)作出y=f(x)在[-6,0]上的图象,如图所示,由图可知,f(x)≤0的解集是[-3,3].答案:(2)[-3,3][备用例2](1)设函数f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则f(x)0的解集是()(A){x|-3x0或x3}(B){x|x-3或0x3}(C){x|x-3或x3}(D){x|-3x0或0x3}解析:(1)依题意,作出函数y=f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上的示意图如图所示,由图易知f(x)0的解集是(-∞,-3)∪(0,3).选B.(2)如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,试作出f(x)在y轴右侧的图象,并求出f(3)的值;解析:(2)奇函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x,-f(x))(x0)关于原点的对称点为P'(x,f(x)),如图为补充后的图象,易知f(3)=-2.(3)如图,给出偶函数y=f(x)的局部图象,比较f(1)与f(3)的大小,并作出它位于y轴右侧的图象.解析:(3)偶函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x,f(x))(x0)关于y轴的对称点为P'(x,f(x)),如图为补充后的图象.易知f(1)f(3).题型三利用函数奇偶性求参数[例3](1)若函数f(x)=x3+ax2+x是定义域为R的奇函数,则a的值为.解析:(1)法一因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以-x3+ax2-x=-(x3+ax2+x),整理得2ax2=0.即a=0.法二因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以f(-1)=-f(1),所以(-1)+a+(-1)=-(1+a+1),所以a=0.答案:(1)0(2)若函数g(x)=(x-2)(x+b)是定义域为R的偶函数,则b的值为.解析:(2)法一因为函数g(x)=(x-2)(x+b)=x2+(b-2)x-2b是偶函数且函数g(x)的对称轴方程为x=-22b.又因为偶函数图象关于y轴(x=0)对称,所以-22b=0,所以b=2.法二因为函数g(x)=x2+(b-2)x-2b是偶函数,所以g(x)=g(-x).所以x2+(b-2)x-2b=x2-(b-2)x-2b对x∈R成立,所以2(b-2)x=0,所以b=2.答案:(2)2方法技巧利用函数奇偶性求参数的方法:(1)定义域含参数,根据定义域关于坐标原点对称,列式求解.(2)解析式含参数,根据f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x)列式,整理化简求解.即时训练3-1:(1)已知y=f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为.解析:(1)因为f(x)是奇函数,所以f(3)=-f(-3).又x0时,f(x)=x2+ax,所以f(-3)=9-3a.又f(3)=6.所以f(-3)=-6.所以9-3a=-6,所以a=5.答案:(1)5(2)(2019·山东烟台市高一上期中)已知函数f(x)=ax2+(b-2)x+3,x∈[a-3,2a]是偶函数,则实数a=,b=.解析:(2)因为f(x)是偶函数,所以a-3+2a=0,即a=1.由f(-1)=f(1),得b=2,此时f(x)=x2+3是偶函数,所以a=1,b=2.答案:(2)12[备用例3](1)若函数f(x)=2232,0,,0,xxxaxbxx是奇函数,则2a+b=.(1)解析:因为f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x).又x≤0时,f(x)=3x2+2x,则-x0,此时f(-x)=ax2-bx.故3x2+2x=-(ax2-bx).所以a=-3,b=2.所以2a+b=-4.答案:-4(2)解:因为f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,所以f(0)=0,即2010b=0,所以b=0.又因为f(12)=12114a=25,所以a=1,所以f(x)=21xx.(2)若已知函数f(x)=21axbx是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(12)=25,求函数f(x)的解析式.题型四易错辨析[例4]若函数f(x)=(x+2018)20182018xx,则()(A)是奇函数(B)是偶函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)非奇非偶函数错解:因为f(x)=(x+2018)20182018xx=