2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大（小）值 第11课时

第一章集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3.1单调性与最大(小)值第11课时函数的最大(小)值题点知识巩固掌握几个要点提能达标过关掌握几个要点1．关注2个关键词——“存在”与“任意”函数最大值和最小值定义中的两个关键词(1)“存在”M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.(2)“任意”最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．2．会用1组关系——函数最值与单调性的关系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得，即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．3．掌握1种方法——求二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．题点知识巩固1.函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为()A．3,0B．3,1C．3，无最小值D．3，－2解析：选C观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0,3)，从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值．故选C．2．设函数f(x)＝1，x0，0，x＝0，－1，x0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的值域为________．解析：由题可知f(x－1)＝1，x1，0，x＝1，－1，x1，∴g(x)＝x2，x1，0，x＝1，－x2，x1，∴g(x)的图象如图所示：∴g(x)的值域为(－∞，0]∪(1，＋∞)．答案：(－∞，0]∪(1，＋∞)3．已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])，则函数的最大值为()A．0.4B．1C．2D．2.5解析：选C∵函数f(x)＝2x－1在[2,6]上是单调递减函数，∴f(x)max＝f(2)＝22－1＝2.故选C．4．函数y＝x＋2x－1()A．有最小值12，无最大值B．有最大值12，无最小值C．有最小值12，最大值2D．无最小值，也无最大值解析：选A∵当x≥12时，y＝x＋2x－1为增函数，∴函数y＝x＋2x－1有最小值12，无最大值．故选A．5．已知函数f(x)＝2x－1x＋1，x∈[3,5]．(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数f(x)的最大值和最小值．解：(1)函数f(x)在[3,5]上是增函数，证明如下：设3≤x1x2≤5，f(x1)－f(x2)＝2x1－1x1＋1－2x2－1x2＋1＝3x1－x2x1＋1x2＋1，∵3≤x1x2≤5，∴x1－x20，x1＋10，x2＋10，∴f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)，∴函数f(x)＝2x－1x＋1在[3,5]上是增函数．(2)由(1)知，当x＝3时，f(x)min＝54；当x＝5时，f(x)max＝32.6．函数y＝x2＋2x－1在[0,3]上的最小值为()A．0B．－4C．－1D．－2解析：选C∵y＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2在[0,3]上是增函数，∴当x＝0时，ymin＝－1，故选C．7．求函数f(x)＝x2－2ax＋a＋1(a0)在区间[－4,4]上的最大值．解：∵f(x)＝x2－2ax＋a＋1＝(x－a)2＋a－a2＋1，∴f(x)的图象是开口向上，对称轴为x＝a的抛物线．①当0a4时，f(x)在[－4，a]上是减函数，在[a,4]上是增函数，∴最大值为f(－4)＝9a＋17；②当a≥4时，f(x)在[－4,4]上是减函数，∴f(x)的最大值为f(－4)＝9a＋17.综上知，f(x)在[－4,4]上的最大值为9a＋17.8．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()A．90万元B．60万元C．120万元D．120.25万元解析：选C设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－x－1922＋30＋1924，∴当x＝9或10时，L最大为120万元．故选C．9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.解析：设矩形花园的宽为ym，则x40＝40－y40，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20时，面积最大．答案：20