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第二课时分段函数与映射[目标导航]课标要求1.通过具体的实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.2.了解映射的概念,理解映射与函数的区别.素养达成1.通过分段函数的学习,培养学生数学建模与数学运算的核心素养.2.通过映射的学习,培养学生逻辑推理与数学运算的核心素养.新知导学·素养养成1.分段函数如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.思考1:怎样求分段函数的定义域、值域?答案:分段函数的定义域是各段定义域的并集,分段函数的值域是各段值域的并集.2.映射设A,B是的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的元素x,在集合B中都有的元素y与之对应,那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射.非空任意一个唯一确定f:A→B思考2:函数与映射的关系是什么?答案:函数是一类特殊的映射,若构成映射的两个集合是非空的数集,则该映射一定是函数.思考3:若映射f:A→B,集合A中元素在对应法则f下的元素构成集合C,则B与C相等吗?答案:B与C不一定相等,它们之间的关系是C⊆B.名师点津(1)关于分段函数的理解①分段函数是一个函数而不是几个函数,处理分段函数问题时,首先要确定自变量的数值属于哪一个范围,从而选择相应的对应关系.②写分段函数的定义域时,要注意区间端点值的取舍,区间端点应不重不漏.分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集,各段定义域的交集是空集.(2)关于映射的理解①映射f:A→B中,A,B必须是非空的集合(函数f:A→B需要A,B是非空数集);②映射f:A→B具有以下特征:a.集合A中的元素在对应关系f作用下,在集合B中有唯一的元素与之对应;b.不要求集合B中的元素都被集合A中元素对应;c.在映射中,f具有方向性,从集合A到集合B的对应关系与集合B到集合A的对应关系一般是不同的;d.映射允许集合A中有不同的元素在集合B中有相同的对应元素,即映射只能是“多对一”或“一对一”,不能是“一对多”.课堂探究·素养提升题型一分段函数求值[例1]已知函数f(x)=21,2,2,22,21,2.xxxxxxx(1)求f(-5),f(-3),f(f(-52))的值;解:(1)由-5∈(-∞,-2],-3∈(-2,2),-52∈(-∞,-2],知f(-5)=-5+1=-4,f(-3)=(-3)2+2×(-3)=3-23.f(-52)=-52+1=-32,而-2-322,所以f(f(-52))=f(-32)=(-32)2+2×(-32)=94-3=-34.(2)若f(a)=3,求实数a的值.解:(2)当a≤-2时,a+1=3,即a=2-2,不合题意,舍去.当-2a2时,a2+2a=3,即a2+2a-3=0.所以(a-1)(a+3)=0,得a=1或a=-3.因为1∈(-2,2),-3∉(-2,2),所以a=1符合题意.当a≥2时,2a-1=3,即a=2符合题意.综上可得,当f(a)=3时,a=1或a=2.解:令t=f(a),则f(t)=3,由例1(2)的解法知t=1或t=2.当t=1时,f(a)=1.由于x≤-2时,x+1≤-1,x≥2时,2x-1≥3.因此只有-2a2时,能满足f(a)=1,即a2+2a-1=0.解得a=2-1或a=-2-1(舍去).同理当t=2时,f(a)=2,则a2+2a-2=0.解得a=3-1或a=-3-1(舍去).综上可知,当f[f(a)]=3时,a=2-1或a=3-1.一题多变:本题中若将(2)中的f(a)=3改为f[f(a)]=3,求a.方法技巧(1)分段函数求值问题的关键是看所给自变量的取值属于哪一段,代入该段解析式求解即可.(2)已知函数值求自变量的值时,应分别代入各段解析式中求解,以免丢解.要根据每段解析式中自变量本身的限制条件进行验证取舍.(3)已知f(x)解关于f(x)的不等式时,要先在每一段内求交集,最后求并集.(4)求解形如f[f(a)]的函数值问题,按从里到外的原则,先求f(a),再求f[f(a)].[备用例1](1)已知实数a≠0,函数f(x)=2,1,2,1,xaxxax若f(1-a)=f(1+a),则a的值为;解析:(1)当a0时,f(1-a)=2(1-a)+a=2-a,f(a+1)=-(a+1)-2a=-3a-1,则2-a=-3a-1知a=-32(舍去).当a0时,1-a1,1+a1,f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a,f(1+a)=2+3a,则-1-a=2+3a,所以a=-34.答案:(1)-34(2)已知f(x)=1,0,0,0,xx则不等式xf(x)+x≤3的解集是.解析:(2)当x≥0时,f(x)=1,代入xf(x)+x≤3得x≤32,故0≤x≤32,当x0时,f(x)=0,代入xf(x)+x≤3得x≤3,即x0.综上可知,x≤32.答案:(2){x|x≤32}解:(1)y=|x+2|+|x-3|=12,2,5,23,21,3.xxxxx函数图象如图所示,由图象可知函数值域为[5,+∞).题型二分段函数的图象[例2]作出下列函数的图象,并写出函数的值域.(1)y=|x+2|+|x-3|;解:(2)函数f(x)的图象如图实线部分所示.(2)f(x)=21,30,,03,9,39.xxxxxx由图可知函数值域为[0,4].方法技巧(1)分段函数的图象应分段,根据各段的解析式作出.作分段函数的图象时,定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接,特别注意端点处是实心点还是空心点.(2)由绝对值的几何意义知,|x|表示数轴上的点到原点的距离,当x≥0时,|x|=x,当x0时,|x|=-x.因此涉及与绝对值有关的函数问题,应先根据绝对值的定义去掉绝对值号,将问题转化为分段函数求解.解:因为y=2|x+1|+|x-2|=3,1,4,12,3,2.xxxxxx函数图象如图所示,由图可知函数值域为[3,+∞).即时训练2-1:已知函数y=2|x+1|+|x-2|.作出函数的简图,并写出函数的值域.[备用例2](1)如图是函数f(x)的图象,OC段是射线,而OBA是抛物线的一部分,试写出f(x)的函数表达式;解:(1)当x≤0时,由图象过点(-2,-2)可知斜率k=1,所以函数式为y=x(x≤0).当x0时,设解析式为y=ax2+bx.所以20,11.ff所以a=1,b=-2.所以y=x2-2x.综上可知f(x)=2,0,2,0.xxxxx解:(2)①当0≤x≤2时,f(x)=1+2xx=1,当-2x0时,f(x)=1+2xx=1-x.所以f(x)=1,02,1,20.xxx(2)已知函数f(x)=1+3xx(-2x≤2).①用分段函数的形式表示函数f(x);②画出函数f(x)的图象;③写出函数f(x)的值域.②函数f(x)的图象如图所示.③由②知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3).题型三分段函数的实际应用[例3](12分)某市“网约车”的现行计价标准是路程在2km以内(含2km)按起步价8元收取,超过2km后的路程按1.9元/km收取,但超过10km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1+50%)=2.85元).(1)将某乘客搭乘一次“网约车”的费用f(x)(单位:元)表示为行程x(0x≤60,单位:km)的分段函数;规范解答:(1)由题意得,车费f(x)关于路程x的函数为f(x)=8,02,81.92,210,81.982.8510,1060xxxxx=8,02,4.21.9,210,2.855.3,1060.xxxxx…6分(2)某乘客的行程为16km,他准备先乘一辆“网约车”行驶8km后,再换乘另一辆“网约车”完成余下行程,请问:他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱?请说明理由.规范解答:(2)是,理由:只乘一辆车的车费为f(16)=2.85×16-5.3=40.3(元),………………8分换乘两辆车的车费为2f(8)=2×(4.2+1.9×8)=38.8(元).……………10分因为40.338.8,所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱.………12分方法技巧由实际问题决定的分段函数,要写出它的解析式,就是根据实际问题需要分成几类就分成几段,求解析式时,先分段分别求出它的解析式,再把各段综合在一起写一个函数.解:由题意知,当0x≤5时,y=1.2x;当5x≤6时,y=1.2×5+(x-5)×1.2×2=2.4x-6;当6x≤7时,y=1.2×5+(6-5)×1.2×2+(x-6)×1.2×4=4.8x-20.4.所以应交的水费y=1.2,0,5,2.46,5,6,4.820.4,6,7.xxxxxx即时训练3-1:为了节约用水,某市打算出台一项水费政策,规定每季度每人用水量不超过5吨时,每吨水的水费为1.2元,若超过5吨而不超过6吨时,超过部分的水费按原价的200%收费,若超过6吨而不超过7吨时,超过部分的水费按原价的400%收费.如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨,试计算本季度他应交的水费y(单位:元).[备用例3]某车间生产一种仪器的固定成本是7500元,每生产一台该仪器需要增加投入100元,已知总收入满足函数:H(x)=24000200,40000200,xxxx其中x是仪器的月产量.(利润=总收入-总成本)(1)将利润表示为月产量x的函数;解:(1)设月产量为x台时的利润为f(x),则总成本t=7500+100x,又因为f(x)=H(x)-t,所以利润f(x)=230075000200,10032500200.xxxxx(2)当月产量为何值时,车间所获利润最大?最大利润是多少元?解:(2)当0≤x≤200时,f(x)=-(x-150)2+15000,所以f(x)max=f(150)=15000;当x200时,f(x)=-100x+32500在(200,+∞)上是随x增大函数值减少,所以f(x)f(200)=12500.而1250015000,所以当x=150时,f(x)取最大值,最大值为15000.答:当月产量为150台时,该车间所获利润最大,最大利润是15000元.题型四映射[例4]判断下列对应关系是否为集合A到集合B的映射.(1)A={0,1,2,3},B={1,2,3,4},对应关系f:“加1”;(2)A=N*,B={0,1,2,3,4},f:除以5的余数;(3)A=N*,B={-1,1,2,-2},f:x→(-1)x;(4)A={平面α内的圆},B={平面α内的矩形},f:A中圆的内接矩形.解:(1)中集合A中的每一个元素通过关系f作用后,在集合B中都有唯一的一个元素与之对应,因此对应关系f是A到B的映射.(2)中集合A中的每一个元素通过关系f作用后,在集合B中都有唯一的元素与之对应,故对应关系f是从A到B的映射.(3)中集合A中的每一个元素通过关系f作用后,对任意的正整数x,所得(-1)x均为1或-1,在集合B中有唯一的1或-1与之对应,符合映射定义,故关系f是从A到B的映射.(4)由于平面α内的圆可以对应无数个平面α内的矩形,因此该对应不是映射.方法技巧判断一个对应是否是映射,应结合定义第一个集合A中的每一个元素在对应关系下是否都有对应元素,若有,再看对应元素是否唯一,若能够至少举出一个反例说明A中的元素在B中无对应元素,则一定不能构成映射.即时训练4-1:(1)设f,g都是由A到A的映射,其对应关系如下表(从上到下):表1映射f的对应法则原像1234像3421表2映射g的对应法则原像1234像4312则与f[g(1
本文标题:2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法 第二课时 分段函数
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