您好,欢迎访问三七文档
1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法第2课时分段函数与映射目标定位重点难点1.掌握简单的分段函数,并能简单应用.2.了解映射概念及它与函数的联系.重点:分段函数的应用及映射的判断.难点:分段函数的应用.1.分段函数在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的_________,这样的函数通常叫做分段函数.2.映射的概念设A,B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的________元素x,在集合B中都有________的元素y与之对应,那么就称对应________为从集合A到集合B的一个映射.对应关系任意一个唯一确定f:A→B1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)分段函数的图象一定不是连续的.()(2)函数都是映射.()(3)映射都是函数.()【答案】(1)×(2)√(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知f(x)=-x+1,x≤1,-x2+3,x1,则f(f(2))=__________.(2)函数f(x)=2x2,0≤x1,2,1≤x2,3,x≥2的定义域为________.(3)已知集合A={1,2,3,…,9},B=R,从集合A到集合B的映射f:x→x2x+1,①与A中元素1相对应的B中的元素是________.②与B中元素49相对应的A中的元素是________.【答案】(1)2(2)[0,+∞)(3)①13②43.思一思:分段函数是由几个函数构成的吗?【解析】不是,分段函数的定义域只有一个,只不过在定义域的不同区间上对应关系不同而已,是一个函数.分段函数求值【例1】已知函数f(x)=x+1,x≤-2,x2+2x,-2<x<2,2x-1,x≥2.(1)求f(-5),f(-3),ff-52的值;(2)若f(a)=3,求实数a的值.【解题探究】(1)根据分段函数的解析式,将数据分别代入对应的函数求值;(2)分别令对应的函数等于3,求出a的值.【解析】(1)由-5∈(-∞,-2],-3∈(-2,2),-52∈(-∞,-2],知f(-5)=-5+1=-4,f(-3)=(-3)2+2×(-3)=3-23.∵f-52=-52+1=-32,而-2-322,∴ff-52=f-32=-322+2×-32=94-3=-34.(2)当a≤-2时,a+1=3,即a=2>-2,不合题意,舍去.当-2<a<2时,a2+2a=3,即a2+2a-3=0,∴(a-1)(a+3)=0,解得a=1或a=-3.∵1∈(-2,2),-3∉(-2,2),∴a=1符合题意.当a≥2时,2a-1=3,即a=2符合题意.综上,当f(a)=3时,a=1或a=2.【方法规律】1.分段函数求值,一定要注意所给自变量的值所在的范围,代入相应的解析式求值.2.已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值,可分段利用函数解析式求得自变量的值,但应注意检验分段解析式的适用范围;也可先判断每一段上的函数值的范围,确定解析式再求解.1.已知函数f(n)=1,n=1,2,n=2,fn-2+fn-1(n∈N*,n≥3).求f(3),f(4),f[f(4)]的值.【解析】由题意可知f(1)=1,f(2)=2,则f(3)=f(2)+f(1)=2+1=3,f(4)=f(3)+f(2)=3+2=5,f[f(4)]=f(5)=f(4)+f(3)=5+3=8.分段函数的图象及应用【例2】已知函数f(x)=1+|x|-x2(-2x≤2).(1)用分段函数的形式表示该函数;(2)画出该函数的图象;(3)写出该函数的值域.【解题探究】讨论x的取值范围→化简fx的解析式→把fx表示为分段函数形式→画出fx的图象→求fx的值域【解析】(1)当0≤x≤2时,f(x)=1+x-x2=1;当-2x0时,f(x)=1+-x-x2=1-x.∴f(x)=1,0≤x≤2,1-x,-2x0.(2)函数f(x)的图象如图所示.(3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3).【方法规律】1.分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段或射线,而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”.2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数来画图象.3.画分段函数图象时还要注意端点是“实心点”还是“空心点”.2.已知函数f(x)=x2-1≤x≤1,1x>1或x<-1,(1)画出f(x)的图象;(2)求f(x)的定义域和值域.【解析】(1)利用描点法,作出f(x)的图象,如图所示.(2)由条件知,函数f(x)的定义域为R.由图象知,当-1≤x≤1时,f(x)=x2的值域为[0,1],当x>1或x<-1时,f(x)=1,所以函数f(x)的值域为[0,1].【例3】判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射.(1)A=N*,B=N*,对应关系f:x→|x-3|;(2)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应关系f:“作圆的内接矩形”.【解题探究】解答本题可由映射定义出发,观察A中任何一个元素在B中是否都有唯一元素与之对应.映射的概念及应用【解析】(1)由于A中元素3在对应关系f作用下其与3的差的绝对值为0,而0∉B,故不是映射.(2)因为一个圆有无数个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应,故不是映射.【方法规律】映射是一种特殊的对应,它具有:(1)方向性:映射是有次序的,一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的;(2)唯一性:集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一元素关系,可以是:一对一,多对一,但不能一对多.3.设集合A={x|1≤x≤2},B={y|1≤y≤4},则下述对应关系f中,不能构成从A到B的映射的是()A.f:x→y=x2B.f:x→y=3x-2C.f:x→y=-x+4D.f:x→y=4-x2【答案】D【解析】对于D,当x=2时,由对应关系y=4-x2得y=0,在集合B中没有元素与之对应,所以D选项不能构成从A到B的映射.分段函数自变量的范围的误区【示例】已知函数f(x)=x2-1x≥0,2x+1x0,若f(x)=3,求x的值.【错解】由x2-1=3,得x=±2;由2x+1=3,得x=1,故x的值为2,-2或1.【错因】本题是一个分段函数问题,在解决此类问题时,要紧扣“分段”的特征,即函数在定义域的不同部分,有不同的对应关系,它不是几个函数,而是一个函数,求值时不能忽视x的取值范围.【正解】当x≥0时,由x2-1=3,得x=2或x=-2(舍去);当x0时,由2x+1=3,得x=1(舍去),故x=2.【警示】1.分段函数是一个函数而不是几个函数,处理分段函数体现了数学的分类讨论思想,“分段求解”是解决分段函数问题的基本原则.2.“对号入座”,根据自变量取值的范围,准确确定相应的对应关系,转化为一般函数在指定区间上的问题.不能准确理解分段函数的概念是导致出错的主要原因.1.分段函数(1)分段是针对定义域而言的,将定义域分成几段,各段的对应关系不一样.(2)一般而言,分段函数的定义域部分是各不相交的,这是由函数定义中的唯一性决定的.(3)研究分段函数时,应根据“先分后合”的原则,尤其是作分段函数的图象时,可先将各段的图象分别画出来,从而得到整个函数的图象.2.映射(1)映射f:A→B是由非空集合A,B以及A到B的对应关系f所确定的.(2)映射定义中的两个集合A,B是非空的,可以是数集,也可以是点集或其他集合,A,B是有先后次序的,A到B的映射与B到A的映射一般是截然不同的,即f具有方向性.(3)在映射中,集合A的“任一元素”,在集合B中都有“唯一”的对应元素,不会出现一对多的情况.只能是“多对一”或“一对一”形式.1.已知集合A={a,b},B={0,1},则下列对应不是从A到B的映射的是()【答案】C【解析】A,B,D均满足映射定义,C不满足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之对应,且集合A中元素b在集合B中无元素与之对应.2.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图),不含端点,则ff13=()A.-13B.13C.-23D.23【答案】B【解析】可求得f(x)=x+1,-1x0,x-1,0x1,∴f13=13-1=-23.∴ff13=f-23=-23+1=13.3.设函数f(x)=x2+1,x≤1,x2+x-2,x>1,则f[f(-1)]的值为________.【答案】4【解析】∵f(-1)=(-1)2+1=2,∴f[f(-1)]=f(2)=22+2-2=4.【答案】2【解析】因为f(0)=3×0+2=2,f[f(0)]=f(2)=4+2a=4a,所以a=2.4.已知函数f(x)=3x+2,x1,x2+ax,x≥1,若f[f(0)]=4a,则实数a=______.5.某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米m元收费;用水超过10立方米的,超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元,求该职工这个月实际用水量.【解析】该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y=mx,0≤x≤10,2mx-10m,x10.由y=16m,可知x10.令2mx-10m=16m,解得x=13(立方米).所以该职工这个月实际用水量为13立方米.
本文标题:2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法 第2课时 分段函数
链接地址:https://www.777doc.com/doc-8286805 .html