2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示素养提升课件 新人教A版

第一章集合与函数概念1．2函数及其表示素养提升核心素养归纳素养培优提能核心素养归纳一、函数解析式求解的常用方法1．换元法【例1】已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)．[分析]采用整体思想，可把f(x＋1)中的“x＋1”看做一个整体，然后采用另一参数替代．[解]令t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．[评注]将“x＋1”换作另一个元素(字母)“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便求出关于“t”的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量取值范围的变化，否则就得不到正确的表达式．此法是求函数解析式时常用的方法．2．待定系数法【例2】已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)的表达式．[解]设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x.故有2a＝2，2b＝－4，2a＋2c＝0，解得a＝1，b＝－2，c＝－1.所以f(x)＝x2－2x－1.[评注]若已知函数是某个基本函数，可设表达式的一般式，再利用已知条件求出系数．3．方程消元法【例3】已知2f(x)＋f1x＝3x，x≠0，求f(x)．[解]2f(x)＋f1x＝3x，①用1x去代换①式中的x得，2f1x＋f(x)＝3x.②由①×2－②得，f(x)＝2x－1x，x≠0.[评注]方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的途径达到求函数解析式的目的．二、解读分段函数1．分段函数解读在定义域中，对于自变量x的不同取值范围，相应的对应关系不同，这样的函数称之为分段函数．分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是各段上的解析式(或对应关系)不同而已．2．常见的题型及其求解策略(1)求分段函数的定义域、值域【例1】求函数f(x)＝x2＋4x，x≤－2，x2，x－2的值域．[解]当x≤－2时，∵f(x)＝x2＋4x＝(x＋2)2－4，∴f(x)≥－4；当x－2时，∵f(x)＝x2，∴f(x)－22＝－1.∴函数f(x)的值域是[－4，＋∞)．[解题策略]分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．(2)求分段函数的函数值【例2】已知f(x)＝x－2，x10，f[fx＋6]，x10，求f(5)的值．[解]∵510，∴f(5)＝f[f(5＋6)]＝f[f(11)]，∵1110，∴f[f(11)]＝f(9)，又∵910，∴f(9)＝f[f(15)]＝f(13)＝11.即f(5)＝11.[解题策略]求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的解析式；另一方面，如果题目中含有复合函数的形式，则需要由里到外层层处理．(3)画出分段函数的图象【例3】已知函数f(x)＝2x，x≥0，x2，x0，作出此函数的图象．[解]由于分段函数有两段，所以这个函数的图象应该由两部分组成，一条是抛物线的左侧，另一条是射线，画出图象如图所示．[解题策略]分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同分别由表达式作出其图象，作图时一要注意每段自变量的取值范围，二要注意判断函数图象每段端点的虚实．(4)求解分段函数的解析式【例4】某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x(分钟)与相应话费y(元)之间的函数图象如图所示．则：(1)月通话为50分钟时，应交话费多少元；(2)求y与x之间的函数关系式．[解](1)由题意可知当0x≤100时，设函数的解析式y＝kx，又因过点(100,40)，得解析式为y＝25x，当月通话为50分钟时，050100，所以应交话费y＝25×50＝20(元)．(2)当x100时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，由图知x＝100时，y＝40；x＝200时，y＝60.则有40＝100k＋b，60＝200k＋b，解得k＝15，b＝20，所以解析式为y＝15x＋20，故所求函数关系式为y＝25x，0x≤100，15x＋20，x100.[解题策略]以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在高考试题中，解决此类问题的关键是正确地理解题目(或图象)给出的信息，准确地确定自变量的分界点．