2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.3 集合的基本运算 第2课时 补集及

1.1集合1.1.3集合的基本运算第2课时补集及综合应用目标定位重点难点1.了解全集的意义和它的记法.理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.2.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题.重点：理解全集、补集的概念.难点：会计算集合的交集、并集、补集的混合运算.补集的概念及性质定义文字语言如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.对于一个集合A，由全集U中______________的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作______符号语言∁UA＝{x|______________}不属于集合A∁UAx∈U，且x∉A图形语言定义性质(1)∁UA⊆U；(2)∁UU＝____，∁U∅＝____；(3)∁U(∁UA)＝____；(4)A∪(∁UA)＝____；A∩(∁UA)＝____∅UAU∅1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个集合的补集是全集，则这个集合一定是空集.()(2)集合∁BC与∁AC相等.()(3)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素.()【答案】(1)√(2)×(3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,3}，则∁UM＝________.(2)设全集U＝R，A＝{x|0≤x≤3}，则∁UA＝_____________.【答案】(1){2,4,5}(2){x|x0或x3}3.思一思：全集一定包含所有元素吗？【解析】全集并不是一个包罗万象的集合，而仅仅包含我们研究问题所涉及的全部元素，问题不同对应的全集也不尽相同.【例1】设全集U＝{x|－5≤x－2或2x≤5，x∈Z}，集合A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，求∁UA，∁UB．【解题探究】先确定集合U、集合A的元素，再依据补集定义求解.补集的运算【解析】在集合U中，∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}.又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，B＝{－3,3,4}.可用Venn图表示如图.则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}.【方法规律】1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解.2.解题时要注意使用补集的几个性质：∁UU＝∅，∁U∅＝U，A∪(∁UA)＝U.1.设全集U＝{1,3,5,7,9}，集合A＝{1，|a－5|,9}，∁UA＝{5,7}，则a的值为________.【答案】8或2【解析】∵A＝{1，|a－5|,9}，∁UA＝{5,7}，A∪(∁UA)＝{1,5,7,9，|a－5|}＝U，∴|a－5|＝3.解得a－5＝±3，即a＝8或a＝2.【例2】已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，∁U(A∪B).【解题探究】将已知集合在数轴上表示出来，利用集合的运算法则分别求解结果.集合交、并、补的综合运算【解析】如图所示.∵A＝{x|－2x3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁UB＝{x|x－3或2x≤4}，A∩B＝{x|－2x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x＜3}.故(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(∁UB)＝{x|2x3}，∁U(A∪B)＝{x|x－3或3≤x≤4}.【方法规律】解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错.(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.2．(2019年河南郑州期中)已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2,6}，(∁UA)∩(∁UB)＝{1,3,7}，A∩(∁UB)＝{4,9}，则B等于()A．{1,2,3,6,7}B．{2,5,6,8}C．{2,4,6,9}D．{2,4,5,6,8,9}【答案】B【解析】根据题意可以求得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，画出Venn图(如图所示)，可得B＝{2,5,6,8}．故选B．【例3】已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1}，B＝{x|2a＜x＜a＋3}，且B⊆∁RA，求实数a的取值范围.【解题探究】先由数轴求出∁RA，分情况进行讨论，利用B⊆∁RA求实数a的取值范围.补集的综合应用【解析】由题意得∁RA＝{x|x≥－1}.(1)若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁RA．(2)若B≠∅，则由B⊆∁RA，得2a≥－1，且2a＜a＋3，即－12≤a＜3.综上可得a≥－12.【方法规律】1.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况.2.不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集.3.已知集合A＝{x|xa}，B＝{x－1或x0}，若A∩(∁RB)＝∅，求实数a的取值范围.【解析】∵B＝{x|x－1或x0}，∴∁RB＝{x|－1≤x≤0}.因而要使A∩(∁RB)＝∅，结合数轴分析(如图)，可得a≤－1.【示例】已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{x|x2＋px＋4＝0}，求∁UA．【错解】由已知，得A⊆U，设方程x2＋px＋4＝0的两根为x1，x2，所以x1x2＝4.当A＝{1,4}时，p＝－5，∁UA＝{2,3,5}.当A＝{2}时，p＝－4，∁UA＝{1,3,4,5}.【错因】若A⊆U，一定不要忘记A＝∅的情况.漏掉空集，等价变换时出错【正解】由已知，得A⊆U，当A＝∅时，方程x2＋px＋4＝0无实数解，此时Δ＝p2－160，解得－4p4.所以∁UA＝∁U∅＝U.当A≠∅时，设一元二次方程x2＋px＋4＝0的两个根为x1，x2，则有x1∈U，x2∈U.因为x1x2＝4，所以只可能有以下情况：当x1＝x2＝2时，p＝－4，此时A＝{2}，∁UA＝{1,3,4,5}；当x1＝1，x2＝4或x1＝4，x2＝1时，p＝－5，此时A＝{1,4}，∁UA＝{2,3,5}.综上所述，当－4p4时，∁UA＝{1,2,3,4,5}；当p＝－4时，∁UA＝{1,3,4,5}；当p＝－5时，∁UA＝{2,3,5}.【警示】在进行集合的交、并、补的运算时，一定要注意等价变形，如A∪B＝A⇔B⊆A；A∩C＝A⇔A⊆C；∁UA＝B⇔∁UB＝A等等.在进行分类讨论时，一定要注意不重不漏.1.对集合中含参数的元素，要由条件先求出参数再作集合的运算.2.集合是实数集的真子集时，其交、并、补运算要结合数轴进行.3.有些较复杂的集合的运算可以先化简再进行.如(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)，计算等号前的式子需三次运算，而计算等号后的式子需两次运算.1．(2019年广西玉林期中)已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁UM等于()A．{x|－2x2}B．{x|－2≤x≤2}C．{x|x－2或x2}D．{x|x≤－2或x≥2}【答案】C【解析】∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁UM＝{x|x－2或x2}．2.已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则B∩∁UA等于()A．{2}B．{3,4}C．{1,4,5}D．{2,3,4,5}【答案】B【解析】因为U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁UA＝{3,4,5}.∴B∩∁UA＝{2,3,4}∩{3,4,5}＝{3,4}.3.已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有()A．2个B．4个C．6个D．8个【答案】B【解析】∵P＝{1,3}，∴子集有22＝4个.4．设集合U＝R，A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|0x≤1}D．{x|1≤x2}【答案】D【解析】阴影部分表示的集合为{x|x∈A且x∉B}＝{x|0x2且x≥1}＝{x|1≤x2}．故选D.5.若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁UA＝________.【答案】{x|0＜x＜1}【解析】∵A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，∴∁UA＝{x|0＜x＜1}.