2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.7.1 定积分在几何中的应用课件 新人教A

1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用目标定位重点难点1.进一步理解定积分的几何意义2.了解应用定积分解决几何问题的思想方法3.能应用定积分解决一些简单的几何问题重点：应用定积分求平面图形的面积难点：将平面图形的面积转化为定积分的问题1．设由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(ab)及y＝0所围成的平面图形的面积为S.(1)如果f(x)0，那么S＝_________；(2)如果f(x)0，那么S＝__________＝__________；(3)如果当a≤x≤c时，f(x)≤0；当cx≤b时，f(x)0，那么S＝__________________＝_________________.abf(x)dxabfxdx－abf(x)dxacfxdx＋cbf(x)dx－acf(x)dx＋cbf(x)dx2．用定积分表示下面4个图形中阴影部分的面积．(1)__________________．(2)__________________．(3)__________________．(4)__________________．ab[f(x)－g(x)]dxab[f(x)－g(x)]dxcd[f(y)－g(y)]dycd[f(y)－g(y)]dy【答案】B1．将由曲线y＝cosx，直线x＝0，x＝π，y＝0所围图形的面积写成定积分的形式为()A．0πcosxdxB．cosxdx＋|π2πcosxdx|C．0π2sinxdxD．0π2|cosx|dx2．由曲线y＝1x，直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为()A．ln2B．ln2－1C．1＋ln2D．2ln2【答案】A3．由曲线y＝f(x)(f(x)≤0)(x∈[a，b])，直线x＝a，x＝b(a＜b)与x轴所围成的曲边梯形的面积S等于()A．abf(x)dxB．－abf(x)dxC．ab[f(x)－a]dxD．ab[f(x)－b]dx【答案】B4．抛物线y＝x2－x与x轴围成的图形的面积为________．【答案】16【例1】求曲线xy＝1与直线y＝x，y＝3所围成的图形的面积．【解题探究】首先画出草图，利用定积分的几何意义，明确所求图形面积，并合理分割图形，结合定积分求解．求图形的面积【解析】如图所示，由xy＝1，y＝x，得点A的坐标为(1,1)．由xy＝1，y＝3，得点B的坐标为13，3.由y＝x，y＝3，得点C的坐标为(3,3)．(方法一)以x为积分变量，所求阴影部分的面积为S＝S1＋S2＝3－1xdx＋13(3－x)dx＝2－ln3＋2＝4－ln3.(方法二)以y为积分变量，所求阴影部分的面积为S＝13y－1ydy＝12y2－lny31＝4－ln3.该题积分变量的选取既可以是x也可以是y，选x为积分变量时要注意分段，选y为积分变量时要将函数式化为x＝f(y)的形式．1．计算由直线y＝0和曲线y＝x2－6x＋5围成的平面图形的面积．【解析】解方程组y＝0，y＝x2－6x＋5，得x＝1，y＝0或x＝5，y＝0.∴S＝－15(x2－6x＋5)dx＝－13x3－3x2＋5x51＝－1253－75＋25＋13－3＋5＝323.定积分的综合应用【例2】在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为112，试求切点A的坐标及切线方程．【解题探究】根据条件，找出等量关系，求解即可．【解析】设切点A(x0，x20)，切线斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0.∴切线方程为y－x20＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x20.令y＝0，得x＝x02.∴S＝x2dx＋[x2－(2x0x－x20)]dx＝112x30.∴112x30＝112，即x0＝1.∴切点为(1,1)，切线方程为y＝2x－1.求平面图形的面积时，一定要先画出图形，在借助图形的特征，确定如何表达能优化运算，减少运算步骤．2．曲线C：y＝2x3－3x2－2x＋1，点P12，0，求过点P的切线l与曲线C围成的图形的面积．【解析】如图，设切点A(x0，y0)，则y′|x＝x0＝6x20－6x0－2.故切线l的方程为y－(2x30－3x20－2x0＋1)＝(6x20－6x0－2)(x－x0)．又切线l过点P12，0，∴－(2x30－3x20－2x0＋1)＝(6x20－6x0－2)12－x0.∴x0(4x20－6x0＋3)＝0.∴x0＝0，y0＝1，点A(0,1)．∴切线l的方程为y－1＝－2(x－0)，即y＝1－2x.y＝2x3－3x2－2x＋1，y＝1－2x⇒x＝32，y＝－2或x＝0，y＝1，∴点B32，－2.∴S＝[(1－2x)－(2x3－3x2－2x＋1)]dx＝(3x2－2x3)dx＝x3－12x42732.用定积分表示面积易错【示例】若y＝f(x)与y＝g(x)是区间[a，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x＝a，x＝b所围成的平面区域的面积为()D．ab[f(x)－g(x)]dxB．ab[g(x)－f(x)]dxC．ab|f(x)－g(x)|dxD．ab[fx－gx]dx【错解】D【错因分析】当f(x)＞g(x)时，所求面积为ab[f(x)－g(x)]dx；当f(x)≤g(x)时，所求面积为ab[g(x)－f(x)]dx.当在区间[a，b]上f(x)≥g(x)和f(x)≤g(x)都不恒成立时，所求面积为ab|f(x)－g(x)|dx.【正解】C【警示】由于定积分是一种和式的极限，它可以为正，也可以为0，还可以为负．但平面图形的面积一般来说总是为正的．因此，当定积分为负值时，一定要通过取绝对值处理为正．1．在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的简图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上、下限．2．要把定积分和平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种和式的极限，可为正，也可为负或0，而平面图形的面积在一般意义上总为正．一般情况下，先把平面图形分割成可以直接用定积分求面积的几个部分，然后加起来．1．(2017年辽宁沈阳期末)如图，由曲线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2和x轴围成的封闭图形的面积是()A．1B．23C．43D．2【答案】D【解析】由曲线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2和x轴围成的封闭图形的面积为S＝01(1－x2)dx＋12(x2－1)dx＝x－13x310＋13x3－x21＝23＋83－2－13＋1＝2.故选D．2．(2019年山东日照模拟)如图，由两条曲线y＝－x2，y＝－14x2及直线y＝－1所围成的平面图形的面积为()A．13B．23C．1D．43【答案】D【解析】由y＝－x2，y＝－1，得交点A(－1，－1)，B(1，－1)．由y＝－14x2，y＝－1，得交点C(－2，－1)，D(2，－1)．∴面积S＝201－14x2＋x2dx＋12－14x2＋1dx＝2x3410＋x－x31221＝43.3．(2017年山东济南期末)由直线y＝0，x＝e，y＝2x及曲线y＝2x所围成的封闭图形的面积为()A．3＋2ln2B．3C．2e2－3D．e【答案】B【解析】由题意，直线y＝0，x＝e，y＝2x及曲线y＝2x所围成的封闭图形如图，直线y＝2x与曲线y＝2x的交点为(1,2)，所以阴影部分的面积为012xdx＋1e2xdx＝x210＋2lnxe1＝3.4．(2018年安徽淮北高二检测)由y＝1x，x＝1，x＝2，y＝1所围成的封闭图形的面积为________．【答案】1－ln2【解析】如图，因为函数y＝1x在[1,2]上的定积分为S2＝121xdx＝11lnx21＝ln2，所以围成的封闭图形的面积S1＝S四边形ABCD－S2＝1－ln2.