2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选

1．3.2函数的极值与导数一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P26～P29的内容，回答下列问题．(1)观察教材P27图1.3－8，函数y＝h(t)在t＝a处的函数值与它附近的函数值的大小有什么关系？y＝h(t)在此处的导数值是多少？在这个点的附近，y＝h(t)的导数的符号有什么规律？提示：函数y＝h(t)在t＝a处的函数值比它附近的函数值都大，此处的导数为0，左侧h′(t)0，右侧h′(t)0.(2)观察教材P27图1.3－10和图1.3－11，函数y＝f(x)在a，b，c，d，e，f，g，h等点的函数值与这些点附近的函数值的大小有什么关系？y＝f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？提示：函数y＝f(x)在a，c，e，g的函数值比它附近的函数值都小，在b，d，f，h处的函数值比它附近的函数值都大；y＝f(x)在这些点的导数值都是0；在a，c，e，g点的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0；在b，d，f，h点的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0.二、归纳总结·核心必记1．极值点与极值(1)极小值点与极小值如图，函数f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在的函数值都小，f′(a)＝0；且在点x＝a附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，则称叫做函数y＝f(x)的极小值点，叫做函数y＝f(x)的极小值．点x＝a附近其他点点af(a)＜＞(2)极大值点与极大值函数f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在的函数值都大，f′(b)＝0；且在点x＝b附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，则称叫做函数y＝f(x)的极大值点，叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极值点与极值、统称为极值点，和统称为极值．点x＝b附近其他点点bf(b)极小值点极大值点极大值极小值＞＜2．求可导函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)0时，右侧f′(x)0，那么f(x0)是．极大值极小值三、综合迁移·深化思维(1)函数的极大值一定大于极小值吗？提示：不一定，课本P27图1.3－11中c处的极小值大于f处的极大值．(2)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？提示：一个．x1，x2，x3是极值点，其中x2是极小值点.x1，x3是极大值点．(3)已知x0是函数f(x)定义域内的一点，当满足什么条件时，f(x0)是f(x)的极大值？当满足什么条件时，f(x0)是f(x)的极小值？提示：当f′(x0)＝0，且在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0时，f(x0)是极大值；当f′(x0)＝0，且在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0时，f(x0)是极小值．(4)导数为0的点都是极值点吗？提示：不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．(5)函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？提示：不一定，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点．探究点一求函数的极值[典例精析]求下列函数的极值：(1)f(x)＝x2e－x;(2)y＝lnxx.[解](1)函数的定义域为R.f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)04e－2由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0.当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝4e2.(2)函数y＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－lnxx2.令y′＝0，即1－lnxx2＝0，得x＝e.x(0，e)e(e，＋∞)y′＋0－y1e由表可知，当x＝e时，函数有极大值1e.[类题通法]求可导函数f(x)的极值的步骤(1)求函数的定义域；(2)求函数的导数f′(x)；(3)令f′(x)＝0，求出全部的根x0；(4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内；(5)判断得结论：若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．[针对训练]1．求下列函数的极值：(1)f(x)＝13x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝2xx2＋1－2.解：(1)函数的定义域为R，f′(x)＝x2－2x－3.令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值143极小值－6∴x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点．∴f(x)极大值＝143，f(x)极小值＝－6.(2)函数的定义域为R，f′(x)＝2x2＋1－4x2x2＋12＝－2x－1x＋1x2＋12.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值－3极大值－1由表可以看出：当x＝－1时，函数f(x)有极小值，且f(－1)＝－22－2＝－3；当x＝1时，函数f(x)有极大值，且f(1)＝22－2＝－1.探究点二已知函数的极值求参数[典例精析]已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．[解]∵y＝f(x)在x＝－1时有极值为0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，∴f′－1＝0，f－1＝0，即3－6a＋b＝0，－1＋3a－b＋a2＝0.解得a＝1，b＝3或a＝2，b＝9.①当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，y＝f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．②当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3，－1)－1(－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)40由表可知，f(x)在x＝－1处取极小值且f(－1)＝0.∴a＝2，b＝9.[类题通法]已知函数极值点或极值求参数的两个要领列式根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．验证因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.[针对训练]2．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．解：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，(1)法一：∵x＝±1是函数的极值点，∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．由根与系数的关系知－2b3a＝0，①c3a＝－1，②又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，③由①②③解得a＝12，b＝0，c＝－32.法二：由f′(1)＝f′(－1)＝0，得3a＋2b＋c＝0，①3a－2b＋c＝0，②又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，③由①②③解得a＝12，b＝0，c＝－32.(2)f(x)＝12x3－32x，∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)·(x＋1)．当x－1或x1时f′(x)0，当－1x1时，f′(x)0.∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．∴当x＝－1时，函数取得极大值，x＝－1为极大值点；当x＝1时，函数取得极小值，x＝1为极小值点．探究点三函数极值的综合问题[典例精析]已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．[解]因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1.当x－1时，f′(x)0；当－1x1时，f′(x)0；当x1时，f′(x)0.所以由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.作出f(x)的大致图象及直线y＝m如图所示：因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合图象可知，m的取值范围是(－3,1)．[类题通法](1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．[针对训练]3．若本例中条件改为“已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4”在x＝43处取得极值，其他条件不变，求m的取值范围．解：由题意可得f′(x)＝－3x2＋2ax，由f′43＝0，可得a＝2，所以f(x)＝－x3＋2x2－4，则f′(x)＝－3x2＋4x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝43，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)00，434343，＋∞f′(x)－0＋0－f(x)－4－7627作出函数f(x)的大致图象如图所示：因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，所以m的取值范围是－4，－7627.4．若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？解：由例题解析可知：当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象有两个不同的交点；当m－3或m1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象只有一个交点．[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是函数极值的求法和已知函数的极值求参数．难点是含参数的函数的极值问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求函数的极值，见探究点一；(2)已知函数的极值求参数，见探究点二；(3)含参数的函数极值问题的求解，见探究点三．3．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0两侧f′(x)符号相反，这是本节课的易错点．