2019-2020学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 3 全称量词与存在量词课件 北师大版选修2-1

一、全称量词、存在量词与全称命题、特称命题二、特称命题的否定特称命题：存在x0∈M，p(x0)成立，它的否定：，特称命题的否定是．三、全称命题的否定全称命题：任意x∈M，p(x)成立，它的否定：，全称命题的否定是．任意x∈M，p(x)不成立全称命题存在x0∈M，p(x0)不成立特称命题[疑难提示]省略量词的命题的否定对含有量词的命题，容易知道它是全称命题还是特称命题．一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“任意”，它的否定是特称命题．[想一想]1．同一个全称命题或特称命题的表述是否唯一？提示：不唯一．对于同一个全称命题或特称命题，由于自然语言不同，可以有不同的表述方法，只要形式正确即可．[练一练]2．下列命题中全称命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是180°.A．0B．1C．2D．3解析：命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．答案：D3．已知命题p：对任意x∈R，都有cosx≤1，则命题p的否定为()A．存在x0∈R，使得cosx0≤1B．对任意x∈R，都有cosx1C．存在x0∈R，使得cosx01D．存在x0∈R，使得cosx0≥1解析：根据全称命题的否定，知全称量词改为存在量词，同时把小于等于号改为大于号，故选C.答案：C探究一判断全称命题与特称命题及其真假[典例1]试判断以下命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：(1)对任意的x∈R，x2＋20；(2)对任意的x∈N，x4≥1；(3)存在x∈Z，x31；(4)对任意的x∈R，x2－3x＋2＝0；(5)存在x∈R，x2＋1＝0.[解析](1)命题中含有全称量词“任意的”，故该命题为全称命题．对任意的x∈R，x2≥0，所以x2＋2≥2，所以x2＋20，所以该命题是真命题．(2)命题中含有全称量词“任意的”，故该命题为全称命题．因为0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以该命题是假命题．(3)命题中含有存在量词“存在”，故该命题为特称命题．因为－1∈Z，当x＝－1时，能使x31，所以该命题是真命题．(4)命题中含有全称量词“任意的”，故该命题为全称命题．因为对于x∈R，只有当x＝2或x＝1时满足x2－3x＋2＝0，所以该命题为假命题．(5)命题中含有存在量词“存在”，故该命题为特称命题．因为不存在一个实数x，使x2＋1＝0成立，所以该命题为假命题．1．要判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称命题的叙述中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．3．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．1．指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断真假．(1)若a0，且a≠1，则对任意实数x，ax0.(2)对任意实数x1，x2，若x1x2，则tanx1tanx2.(3)存在两个相交平面垂直于同一条直线．(4)存在T0∈R，|sin(x＋T0)|＝|sinx|.解析：(1)是全称命题．∵ax0(a0，且a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)是全称命题．存在x1＝0，x2＝π，x1x2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题．(3)是特称命题．由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，∴命题(3)是假命题．(4)是特称命题．y＝|sinx|是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(4)是真命题．2．判断下列命题的真假，并说明理由：(1)对任意x∈R，都有x2－x＋112成立；(2)存在实数α，β，使cos(α－β)＝cosα－cosβ成立；(3)对任意x，y∈N，都有(x－y)∈N；(4)存在x，y∈Z，使2x＋y＝3成立．解析：(1)解法一当x∈R时，x2－x＋1＝(x－12)2＋34≥34＞12，所以该命题是真命题．解法二x2－x＋112⇔x2－x＋120，由于Δ＝1－4×12＝－10，所以不等式x2－x＋112的解集是R，所以该命题是真命题．(2)当α＝π4，β＝π2时，cos(α－β)＝cos(π4－π2)＝cos(－π4)＝cosπ4＝22，cosα－cosβ＝cosπ4－cosπ2＝22－0＝22，此时cos(α－β)＝cosα－cosβ，所以该命题是真命题．(3)当x＝2，y＝4时，x－y＝－2∉N，所以该命题是假命题．(4)当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，即存在x，y∈Z，使2x＋y＝3，所以该命题是真命题．探究二全称命题与特称命题的否定[典例2]写出下面命题的否定，并判断其真假．(1)p：任意x∈R，都有|x|＝x；(2)p：任意x∈R，都有x3x2；(3)p：至少有一个二次函数没有零点．[解析](1)p是全称命题．其否定为：存在x0∈R，使得|x0|≠x0；如x0＝－1，则|－1|＝1≠－1，所以其否定是真命题．(2)p是全称命题．其否定为：存在x0∈R，使得x30≤x20；如x0＝－1时，(－1)3＝－1≤(－1)2，所以其否定是真命题．(3)p是特称命题．其否定为：所有二次函数都有零点；如二次函数y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋20，无零点，所以其否定为假命题．一般而言，全称命题的否定是一个特称命题，特称命题的否定是一个全称命题．因此，在叙述命题的否定时，要注意量词间的转换．同时，还要注意原命题中是否有省略的量词，要理解原命题的本质．如“三角形有外接圆”的本质应为“所有三角形都有外接圆”，因此，其否定为“存在一个三角形没有外接圆”．3．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数能被2整除且能被5整除；(3)存在x∈R，使log2x0成立；(4)对任意m∈Z，都有m2－30成立．解析：(1)命题省略了全称量词“所有”，所以是全称命题；否定形式：有的对数函数不是单调函数．(2)命题含有存在量词“至少”，所以是特称命题；否定形式：所有整数不能被2整除或不能被5整除．(3)命题含有存在量词，所以是特称命题；否定形式：对任意x∈R，都有log2x≤0.(4)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称命题；否定形式：存在m∈Z，使m2－3≤0成立．4．判断下列命题的真假，写出这些命题的否定并判断其真假．(1)每条直线在y轴上都有一个截距；(2)平面内，存在一个三角形，它的内角和小于180°；(3)存在一个四边形没有外接圆．解析：(1)命题为假命题；命题的否定为：“并非每条直线在y轴上都有一个截距”或“存在一条直线在y轴上没有截距”，其命题的否定为真命题．(2)命题为假命题；命题的否定为：“平面内，不存在一个三角形，它的内角和小于180°”或“对任意三角形，它的内角和都不小于180°”，其命题的否定为真命题．(3)命题为真命题；命题的否定为：“不存在一个四边形没有外接圆”或“对任意一个四边形，都有外接圆”，其命题的否定为假命题．探究三全称命题、特称命题的应用全称命题、特称命题的应用——命题的否定与否命题的区别—求变量的取值范围—求参数的取值范围5．写出下列命题的否定与否命题．(1)正数a的平方根不等于零；(2)平行四边形的对边相等．解析：(1)命题的否定：正数a的平方根等于零；否命题：若a不是正数，则a的平方根等于零．(2)命题的否定：平行四边形的对边不相等；否命题：若一个四边形不是平行四边形，则它的对边不相等．6．已知p(x)为真命题，求实数x的取值范围．(1)p(x)：log2x2－10；(2)p(x)：4x－2x＋1－30.解析：(1)由log2x2－10，得x22，解得x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．(2)由4x－2x＋1－30，得(2x－3)(2x＋1)0.因为2x＋10，所以2x3，解得x∈(－∞，log23)．7．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)若命题“对于任意x∈R，不等式m＋f(x)0恒成立”为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题“存在实数x使不等式m－f(x)0成立”为真命题，求实数m的取值范围．解析：(1)不等式m＋f(x)0可化为m－f(x)，即m－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，则m－4，故实数m的取值范围是(－4，＋∞)．(2)不等式m－f(x)0可化为mf(x)．若存在实数x使不等式mf(x)成立，只需mf(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，得f(x)min＝4，所以m4.故所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．因否定不全面致误[典例]写出命题p：“存在x∈[0,1]，xx－2x－10”的否定，并判断p与其否定的真假．[解析]p的否定为：“对任意x∈[0,1]，xx－2x－1≥0或xx－2x－1无意义”．由于不存在x∈[0,1]，使xx－2x－10成立，故p为假命题．其否定为真命题．[错因与防范](1)本例易出现把p的否定写为“对任意的x∈[0,1]，xx－2x－1≥0”，从而漏掉xx－2x－1无意义这一可能出现的情况．(2)对于含有一个量词的命题否定时，应注意无意义的情况是否可能出现．