您好,欢迎访问三七文档
第2课时极坐标和直角坐标的互化要点1点的极坐标和直角坐标的互化(如图).(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为,x轴的正半轴作为并在两种坐标系中取相同的.(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ)(ρ≥0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表.极点极轴长度单位点M直角坐标(x,y)极坐标互化公式x=ρ·cosθy=ρ·sinθρ2=x2+y2tanθ=yx(x≠0)一般情况下,由tanθ确定角时,可根据点Μ所在象限取最小正角.课时学案题型一把点的极坐标化为直角坐标例1分别把下列点的极坐标化为直角坐标.(1)(2,23π);(2)(4,-π2);(3)(6,2).【思路分析】极坐标(ρ,θ)―→x=ρcosθy=ρsinθ―→直角坐标(x,y).【解析】(1)x=2cos23π=-1,y=2sin23π=3,∴直角坐标为(-1,3).(2)x=4cos(-π2)=0,y=4sin(-π2)=-4,∴直角坐标为(0,-4).(3)x=6cos2,y=6sin2,∴直角坐标为(6cos2,6sin2).探究1(1)点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件:①极点与直角坐标系的原点重合;②极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;③两种坐标系的长度单位相同.(2)将点的极坐标(ρ,θ)化为点的直角坐标(x,y)时,运用到求角θ的正弦值和余弦值,熟练掌握特殊角的三角函数值,灵活运用三角恒等变换公式是关键.思考题1将下列点的极坐标化为直角坐标.(1)(1,0);(2)(2,32π).【解析】(1)x=ρ·cosθ=1×cos0=1,y=ρ·sinθ=0,∴(1,0)化为直角坐标为(1,0).(2)x=2·cos32π=0,y=2·sin32π=-2,∴(2,32π)化为直角坐标为(0,-2).题型二将点的直角坐标化为极坐标例2将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ≥0,0≤θ2π).(1)(0,0);(2)(1,-1);(3)(32π,32π).【思路分析】直角坐标(x,y)―→ρ2=x2+y2,tanθ=yx(x≠0)―→极坐标(ρ,θ).【解析】(1)ρ=0,∴极坐标为(0,0).(2)ρ=x2+y2=2,tanθ=yx=-1,θ∈[0,2π),由于(1,-1)在第四象限,∴θ=74π,∴极坐标为(2,74π).(3)ρ=x2+y2=322π,tanθ=1,θ∈[0,2π),由于点(32π,32π)在第一象限,∴θ=π4,∴极坐标为(322π,π4).探究2将点的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ),当ρ≥0,θ∈[0,2π)时,除极点外点的极坐标是唯一的,此时由tanθ=yx(x≠0)求角θ时有两解,所以要根据点所在的象限求出角θ,通常称为主值角;当ρ≥0,θ∈R时,点的极坐标是不唯一的,一般根据终边相同的角的意义将点的极坐标表示为(ρ,θ+2kπ)(k∈Z).思考题2将M的直角坐标(1,-1)化为极坐标(ρ≥0,-πθ≤π).【解析】ρ2=x2+y2=2,tanθ=-11=-1,∵θ∈(-π,π],(1,-1)在第四象限,∴θ=-π4,∴极坐标为(2,-π4).题型三当ρ0时,极坐标的表示形式例3已知点M(1,43π),(1)若ρ0,0≤θ2π,则M的极坐标为________.(2)若ρ0,-2π≤θ0,则M的极坐标为______.【解析】由图,可得(1)M(-1,π3),(2)M(-1,-53π).探究3当ρ0时,点M(1,43π)的极坐标的一般形式是(-1,2kπ+π3),(k∈Z).思考题3与极坐标(-2,π6)不表示同一点的极坐标是()A.(2,76π)B.(2,-76π)C.(-2,-116π)D.(-2,136π)【答案】B题型四极坐标与直角坐标的综合应用例4已知△ABC三个顶点极坐标分别为A(2,π2),B(2,56π),C(3,53π),极点O(0,0).(1)判断△OAB的形状;(2)求△ABC的面积.【思路分析】(1)先将极坐标化为直角坐标,(2)根据边角关系判断三角形形状.【解析】各点化为直角坐标分别为A(0,2),B(-3,1),C(32,-32),O(0,0).(1)∵|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=2,|OA|=|OB|=2,∴△OAB为等边三角形.(2)∵|AC|=13,|BC|=13,|AB|=2,∴△ABC为等腰三角形.∴AB中点D(-32,32),∴|CD|=23.∴S△ABC=12|AB|·|CD|=12×2×23=23.探究4本例考查了直角坐标与极坐标的互化、三角形的面积公式.思考题4在极坐标系中,如果A(2,π4),B(2,5π4)为等边三角形ABC的两个顶点,求顶点C的极坐标(ρ≥0,0≤θ2π).【解析】如图|OC|=23,∠AOC=π2,∴C(23,34π)或(23,74π).课后巩固1.点的直角坐标(3,-4)化为极坐标(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ2π),则()A.ρ=3,θ=4B.ρ=5,θ=4C.ρ=5,tanθ=43D.ρ=5,tanθ=-43答案D2.点A的极坐标为(2,76π),则A的直角坐标为()A.(-1,-3)B.(-3,1)C.(-3,-1)D.(3,-1)答案C3.极坐标为(3,4)的点到极轴的距离为()A.4B.5C.3sin4D.-3sin4答案D4.极坐标为(3,3)的点在直角坐标系的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B
本文标题:2019-2020学年高中数学 第一讲 坐标系 1-2-2 极坐标和直角坐标的互化课件 新人教A版选
链接地址:https://www.777doc.com/doc-8287545 .html