2019-2020学年高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入章末优化总结课件 北师大版选修1-2

考点1复数的运算1．复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除，加减法对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，但应注意i2＝－1.在运算过程中常用来降幂的公式有：(1)i的幂：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i(k∈Z)；(2)(1±i)2＝±2i；(3)(±22±22i)2＝±i；(4)(±12±32i)3＝±1.2．在考查中，复数运算多与概念相综合，多为选择、填空题．计算下列各题：(1)2＋2i41－3i5；(2)－23＋i1＋23i＋(21－i)2016；(3)2－3i2＋3i1－i5－12i.[解析](1)2＋2i41－3i5＝241＋i41－3i5＝24·2i21－3i5＝－212－32i5＝2－12＋32i5＝2－12＋32i6－12＋32i5＝－1＋3i.(2)∵－23＋i＝(1＋23i)i，(21－i)2016＝[(21－i)2]1008＝(2－2i)1008＝i4×252＝i4＝1，∴－23＋i1＋23i＋(21－i)2016＝1＋i.(3)2－3i2＋3i1－i5－12i＝4＋9－7－17i＝－137－17i72＋172＝－91338＋221338i.考点2共轭复数与模共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程：(1)|z|＝1⇔z＝1z；(2)z∈R⇔z＝z；(3)z≠0，z为纯虚数⇔z＝－z.(1)下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题：p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的虚部为－1.其中的真命题为()A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4(2)已知z1与z2是非零复数，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，求证：(z1z2)2＜0.[解析](1)利用复数的有关概念以及复数的运算求解．∵z＝2－1＋i＝－1－i，∴|z|＝－12＋－12＝2，∴p1是假命题；∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；∵z－＝－1＋i，∴p3是假命题；∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．其中的真命题共2个：p2，p4.(2)证明：证法一|z1＋z2|＝|z1－z2|⇒|z1＋z2|2＝|z1－z2|2⇒(z1＋z2)(z1＋z2)＝(z1－z2)(z1－z2)⇒(z1＋z2)(z1＋z2)＝(z1－z2)(z1－z2)⇒z1z2＋z1z2＝0⇒z1z2＝－(z1z2)(z1，z2不等于零)⇒(z1z2)2＝－(z1z2)·z1z2＝－z1z1z2z2＝－|z1|2|z2|2＜0，即(z1z2)2＜0.证法二|z1＋z2|＝|z1－z2|⇔|z1z2＋1|＝|z1z2－1|，所以z1z2对应点的轨迹是y轴(以复数1和－1所对应的两点的线段的中垂线)，因为z1z2≠0，故除去原点，所以z1z2为纯虚数，所以(z1z2)2＜0.[答案](1)C考点3复数的几何意义及应用1．复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点z与z1之间的距离．复数的几何意义体现了用几何图形的方法研究代数问题的数学思想方法．2．复数形式的基本轨迹(1)当|z－z1|＝r，表示复数对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；(2)当|z－z1|＝|z－z2|，表示以复数z1、z2的对应点为端点的线段的垂直平分线；(3)当|z－z1|＋|z－z2|＝2a(2a|Z1Z2|0)，则表示以复数z1、z2的对应点Z1、Z2为焦点的椭圆；(4)当||z－z1|－|z－z2||＝2a(02a|Z1Z2|)，则表示以复数z1、z2的对应点Z1、Z2为焦点的双曲线．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足z·z－＋(1－2i)z＋(1＋2i)z－＝3，求复数z在复平面上对应点的轨迹．[解析]∵z＝x＋yi(x，y∈R)，∴z·z－＋(1－2i)z＋(1＋2i)z－＝x2＋y2＋(1－2i)(x＋yi)＋(1＋2i)(x－yi)＝x2＋y2＋x＋yi－2xi＋2y＋x－yi＋2xi＋2y＝x2＋y2＋2x＋4y＝(x＋1)2＋(y＋2)2－5＝3，∴(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，∴z对应点的轨迹是以(－1，－2)为圆心，22为半径的圆．