2019-2020学年高中数学 第四章 函数应用章末总结归纳课件 北师大版必修1

第四章函数应用章末总结归纳函数零点从“数”的角度看是使f(x0)＝0的数x0；从“形”的角度看，是函数f(x)的图像与x轴交点的横坐标．由f(a)·f(b)0可得函数y＝f(x)在开区间(a，b)内存在零点，但是已知函数y＝f(x)在开区间(a，b)内存在零点却不一定推出f(a)·f(b)0.根据此性质结合函数解析式可判断函数f(x)在某区间是否有零点，也可以列出不等式求某些参数的取值范围．已知二次函数f(x)＝x2－(m－1)x＋2，在[0,1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围．【解】①当方程x2－(m－1)x＋2＝0在[0,1]上有两个相等的实根时，有Δ＝m－12－8＝0，0≤m－12≤1，解得m＝1±22且1≤m≤3，∴此种情况不存在．②当方程x2－(m－1)x＋2＝0有两个不相等实根时，有且只有一根在[0,1]上，有f(0)·f(1)≤0，即2(4－m)≤0，∴m≥4；综上所述，实数m的取值范围m≥4.二分法就是充分运用了“逐步逼近”思想，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值．求方程x3＋x2－2x－2＝0的一个正数解(精确到0.1)【解】设f(x)＝x3＋x2－2x－2，f(1)＝－2，f(2)＝6，所以f(1)f(2)0.因此可取[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：端点(中点)坐标计算中点的函数值取区间f(1)＝－20f(2)＝60[1,2]x1＝(1＋2)/2＝1.5f(x1)＝0.6250[1,1.5]端点(中点)坐标计算中点的函数值取区间x2＝(1＋1.5)/2＝1.25f(x2)≈－0.9840[1.25,1.5]x3＝(1.25＋1.5)/2＝1.375f(x3)≈－0.2600[1.375,1.5]x4＝(1.375＋1.5)/2≈1.438f(x4)≈0.1650[1.375,1.438]x5＝(1.375＋1.438)/2＝1.4065f(x5)≈－0.0520[1.4065,1.438]由上表计算可知，区间[1.375,1.438]的长度小于0.1，所以这个区间的x≈1.4可作为方程的一个正数解.在实际生活和社会实践中，常涉及一些量与量的关系，如果把这种函数关系写出来，就可以利用我们所学过的函数知识，进行研究，解决一些实际问题．数学建模的一般步骤是(1)解读：领会题意，并把题中的文字语言译成数学语言；(2)建模：根据题目的要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型并注意题目对变量的限制条件；(3)解模：对已经“数学化”的问题，用所学过的数学知识处理，求出解；(4)检验：将数学问题的解代入实际问题检验，舍去不合题意的解，并作答．某厂生产一种产品，每件产品的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部产品的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设一次订购x件，产品的实际出厂单价p元，写出函数p＝f(x)的表达式；(2)当销售商一次订购多少件产品时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？【解】(1)当0x≤100时，p＝60；当100x≤600时，p＝60－0.02(x－100)＝62－0.02x，∴p＝60，0x≤100，且x∈Z，62－0.02x，100x≤600，且x∈Z.(2)设利润为y元，则当0x≤100时，y＝60x－40x＝20x；当100x≤600时，y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2.∴y＝20x，0x≤100，22x－0.02x2，100x≤600.当0x≤100时，y＝20x是单调增函数，当x＝100时，y最大，此时最大值为2000；当100x≤600时，y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6050，∴当x＝550时，y最大，此时y＝6050，显然60502000，所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050.1．函数ƒ(x)＝ln3x2－2x的零点一定位于区间()A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,5)解析：∵ƒ(1)＝ln32－20，ƒ(2)＝ln3－10，∴ƒ(1)·ƒ(2)0，∴函数ƒ(x)在区间(1,2)内一定有零点．答案：A2．设函数y＝x3与y＝3·12x的图像交点为P(x0，y0)，则x0所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：令ƒ(x)＝x3－3·12x，则ƒ(0)＝－30，ƒ(1)＝1－320，ƒ(2)＝8－340，∴ƒ(1)·ƒ(2)0.∴x0∈(1,2)．答案：B3．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”，若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为()A．－94，－2B．[－1,0]C．(－∞，－2]D．－94，＋∞解析：设h(x)＝(x2－3x＋4)－(2x＋m)＝x2－5x＋4－m，由题意可知h(x)在[0,3]上有两个不同的零点，由于对称轴x＝52∈[0,3]，于是可转化为Δ＝－52－44－m0，h3＝32－5×3＋4－m≥0，h0＝4－m≥0，解得－94m≤－2.答案：A4．若函数ƒ(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析：函数ƒ(x)＝ax－x－a有两个零点，就是曲线y＝ax与直线y＝x＋a有两个交点，如图所示，当a1时，适合题意，故a的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)5．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得出，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P与上市时间t的关系可用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本Q与上市时间t的关系可用图2的抛物线段表示．(1)写出图1表示的市场售价P与时间t的函数关系式P＝f(t)，写出图2表示的种植成本Q与时间t的函数关系式Q＝g(t)；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？解：(1)图1可得市场售价与时间的函数关系为f(t)＝－t＋300，0≤t≤200，2t－300，200t≤300.由图2可得种植成本与时间的函数关系为g(t)＝1200(t－150)2＋100(0≤t≤300)．(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)＝f(t)－g(t)，即h(t)＝－1200t2＋12t＋1752，0≤t≤200，－1200t2＋72t－10252，200t≤300.当0≤t≤200时，配方整理得h(t)＝－1200(t－50)2＋100，所以，当t＝50时，h(t)取得区间[0,200]上的最大值100；当200t≤300时，配方整理得h(t)＝－1200(t－350)2＋100，所以，当t＝300时，h(t)取得区间(200,300]上的最大值87.5，综上，由10087.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．