2019-2020学年高中数学 第四章 函数应用 2 2.1 实际问题的函数刻画 2.2 用函数模型

第四章函数应用§2实际问题的函数建模2．1实际问题的函数刻画2．2用函数模型解决实际问题2．3函数建模案例自主学习梳理知识1课前基础梳理|学习目标|1．了解数学建模的过程，进一步感受函数与现实世界的联系，强化用数学解决实际问题的意识．2．尝试用函数刻画实际问题，通过研究函数的性质解决实际问题.1．用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作__________，可以用图示表示数学建模的过程．数学建模2．常用到的函数模型(1)正比例函数模型：__________；(2)反比例函数模型：____________；(3)一次函数模型：______________；(4)二次函数模型：__________________；(5)指数函数模型：y＝m·ax＋b(a0且a≠1，m≠0)；(6)对数函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a0且a≠1)；(7)幂函数模型：y＝k·xn＋b(k≠0)．y＝kx(k≠0)y＝kx(k≠0)y＝kx＋b(k≠0)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)解决应用题应遵循什么步骤？答：阅读理解认真审题―→引入符号建立模型―→运用数学方法解决数学模型―→代入实际问题核查说明作答典例精析规律总结2课堂互动探究绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶，在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方案：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？【解】设销售价为x元/瓶，则根据题意(销售量等于进货量)，正好销售完的进货量为4－x0.05×40＋400，即400(9－2x)瓶．此时所得的利润为f(x)＝400(9－2x)(x－3)＝400(－2x2＋15x－27)(元)(3x≤4)．根据函数性质，当x＝154时，f(x)取最大值450.这时的进货量为400(9－2x)＝4009－2×154＝600(瓶)，获得最大利润450元．答：销售价应定为3.75元每瓶，从工厂购进600瓶时，才能获利最大．【方法总结】运用二次函数模型，主要是结合二次函数的图像，其图像受定义域(是全体实数，还是闭区间，还是开区间，还是x∈N＋等)与开口方向等条件的限制，在解实际问题时，还要结合问题的实际意义．某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为200元，每桶水进价为5元，销售单价与日销售量的关系如下表：销售单价(元)6789101112日销售量(桶)480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？最大利润是多少？解：设每桶水在原来的基础上上涨x元，利润为y元，从表格中的数据可以得到，价格每上涨1元，日销售量就减少40桶，所以涨价x元后，日销售的桶数为480－40x0，所以0x12，则利润y＝(480－40x)(1＋x)－200＝－40x－1122＋1490(0x12)，所以当x＝5.5时，利润最大，即当每桶水的价格为11.5元时，利润最大值为1490元.医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表．已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候，小白鼠将会死亡．如注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.天数t病毒细胞总数N11223448516632(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天)(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天，已知：lg2＝0.3010)【解】(1)由题意知，病毒细胞的个数关于时间t的函数为y＝2t－1.则由2t－1≤108两边取对数得(t－1)lg2≤8，得t≤27.6.即第一次最迟应在第27天注射该种药物．(2)由题意知，注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞数为226×2%，再经过x天后小白鼠体内病毒细胞数为226×2%×2x.由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg2＋lg2－2＋xlg2≤8，得x≤6.2.即再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物．【方法总结】随着新课标的逐渐铺开(如计算器的广泛使用)，以往对于指数运算的困难便已不再是困难．换句话说，指数函数的应用型问题将可以堂而皇之地进入到各级各类考试中．就本题而言，难度并不大，在读懂题意的基础上，只需要最基本的归纳推理能力和观察能力，便能发现病毒细胞个数关于时间的函数关系式，在此基础上问题的解决只是计算上的问题了．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝1＋Mm2000(e为自然对数的底)．(1)当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)；(2)当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m多少倍时，求火箭的最大速度是否可以达到8km/s？(结果精确到个位，数据：e≈2.718，e4≈54.598，ln3＝1.099)解：(1)∵ev＝1＋Mm2000，∴v＝ln1＋Mm2000＝2000ln1＋Mm，∵当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m两倍时，即M＝2m，∴v＝2000ln3≈2000×1.099＝2198(m/s)．∴当燃料质量M为火箭质量m两倍时，火箭的最大速度为2198m/s.(2)∵ev＝1＋Mm2000，∴Mm＝ev2000－1，∴Mm＝e80002000－1＝e4－1≈54.598－1≈54，∴当燃料质量M为火箭质量m的54倍时，火箭最大速度可以达到8km/s.某化工厂开发研制的一种新产品，在前三个月的月产量依次为100t、120t、130t．为了预测今后各个月的月产量，需要以这三个月的月产量为根据，用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系．对此模拟函数可以选用二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N＋)或函数g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N＋)．现在已知该厂这种新产品的第四个月的月产量为137t，试问：选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？【解】对于两个模拟函数中的前者，将前三个月的已知数据分别代入其中，得f(1)＝a＋b＋c＝100，f(2)＝4a＋2b＋c＝120，f(3)＝9a＋3b＋c＝130.解由此形成的关于a，b，c的三元一次方程组，得a＝－5，b＝35，c＝70.所以f(x)＝－5x2＋35x＋70.①同理可得g(x)＝－80×0.5x＋140.②为了比较两个模拟函数的优劣，只需将x＝4分别代入①式与②式，得f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．因为与f(4)相比，g(4)与实际第四个月的月产量在数值上更为接近，所以，作为模拟函数，②式比①式更好．故选用函数g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．【方法总结】问题中给出函数关系式，且关系式中带有需确定的参数，这些参数需要根据问题的内容或性质来确定，然后再通过运用函数使问题本身获解．某村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收取管理费2元，月用电量不超过30度时，每度0.5元；超过30度时，超过部分按每度0.6元收取；方案二：不收管理费，每度0.58元．(1)求方案一L(x)收费(元)与用电量x(度)间的函数关系；(2)老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少度？(3)老王家该月用电量在什么范围内，选择方案一比选择方案二更好？解：(1)当0≤x≤30时，L(x)＝2＋0.5x；当x30时，L(x)＝2＋30×0.5＋(x－30)×0.6＝0.6x－1，∴L(x)＝2＋0.5x，0≤x≤30，0.6x－1，x30.(2)当0≤x≤30时，由L(x)＝2＋0.5x＝35，得x＝66(舍去)；当x30时，L(x)＝0.6x－1＝35，得x＝60，∴老王家该月用电60度．(3)设方案二收费为F(x)，则F(x)＝0.58x.当0≤x≤30时，由L(x)F(x)，得2＋0.5x0.58x，解得x25，∴25x≤30；当x30时，由L(x)F(x)，得0.6x－10.58x，解得x50，∴30x50，综上，25x50.故老王家用电量在(25,50)范围内时，选方案一比方案二好．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(b＜a)，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF，且AE＝AH＝CG＝CF＝x.问：当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积．【错解】设四边形EFGH的面积为S，则S＝ab－212x2＋12a－xb－x＝－2x2＋(a＋b)x＝－2x－a＋b42＋a＋b28.根据二次函数的性质可知，当x＝a＋b4时，S有最大值a＋b28.【错因分析】实际问题中，应考虑函数的定义域，错解中直接利用二次函数的性质求解，从而导致出错．【正解】设四边形EFGH的面积为S，则S＝ab－212x2＋12a－xb－x＝－2x2＋(a＋b)x＝－2x－a＋b42＋a＋b28，x∈(0，b]．因为0＜b＜a，所以0＜b＜a＋b2.当a＋b4≤b，即a≤3b时，当x＝a＋b4时，S有最大值a＋b28；当a＋b4＞b，即a＞3b时，易知S(x)在(0，b]上是增函数，所以当x＝b时，S有最大值ab－b2.综上，当a≤3b，x＝a＋b4时，S有最大值a＋b28；当a＞3b，x＝b时，S有最大值ab－b2.即学即练稳操胜券3基础知识达标1．某工厂2000年的产值为a万元，预计产值每年以n%递增，则该厂到2012年的产值(单位：万元)是()A．a(1＋n%)13万元B．a(1＋n%)12万元C．a(1＋n%)11万元D．a(1－n%)12万元答案：B2．某商品进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件，商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为()A．45元B．55元C．65元D．70元解析：设当商品定价为x元时，商店的销售利润为y元，则有y＝(x－40)[500－10(x－50)]＝(x－40)(1000－10x)＝－10x2＋1400x－40000(x≥50)，∴当x＝70时，y有最大值．答案：D3．某旅店有客床100张，各床每天收费10元时可全部客满，若每床每天收费每提高2元，则减少10张客床租出．这样为了减少投入多获利，每床每天收费应提高________元．解析：设每床每天收费提高2x元(x∈N＋)，则收入为y＝(10＋2x)(100－10x)＝20(5＋x)(10－x)，∴当x＝2或3时，y取最大值，当x＝2时，y＝1120，当x＝3时，y＝1120.为了满足减少投入要求应在获利相同条件下多空出床位，故x＝3.答案：64．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件，则该厂3月份产品的产量为________．解析：由1＝0.5a＋b，1.5＝0.25a＋b，解得a＝－2，b＝2.∴y＝－2(0.5)x＋2，∴3月份产品的产量为y＝－2(0.5)3＋2＝1.75(万件)．答案：1.75万件5．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)之间满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．已知该食品在0℃的保鲜时间为160小时，在20℃的保鲜时间为40小时．(1)求该食品在30℃的保鲜时间；(2)若要使该食品的保鲜时间至少为80小时，则储存温