2019-2020学年高中数学 第三章 指数函数和对数函数 6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

第三章指数函数和对数函数§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较自主学习梳理知识1课前基础梳理|学习目标|1．会利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的意义.在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a1)，y＝logax(a1)，y＝xn(n0)都是___(填“增”或“减”)函数，但它们的增长速度不同，而且在不同的“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并会远远大于y＝xn(n0)的增长速度，而y＝logax(a1)的增长速度会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当xx0时，就有logax___xn___ax.增1．实际生活中，哪些问题与指数函数有关？答：在实际应用中有关增长率(或减少率)、存款利率、或由物理概念建立起来的函数关系都与指数函数有关，常用到指数函数的概念和性质求解．2．指数函数与对数函数关系如何？答：由于指数函数与对数函数互为反函数，在指数式与对数式的计算中可以相互转化，因而指数函数、对数函数联系紧密，不可分割．3．幂函数在实际生活中有何应用？答：幂函数y＝xα，当α＝1，2，－1等值时，就是我们常说的正比例、二次、反比例等常见函数．在实际应用中，它们或由它们构成的复合函数经常遇到．解这类题目的关键是通过转化、换元等方法将问题转化为单一的幂函数求解．典例精析规律总结2课堂互动探究试利用图像比较y＝x2和y＝2x的增长情况．【解】为观察到y＝x2和y＝2x的图像的全貌，便于比较其增长情况，列如下两表：表1x0246810121416…y＝2x141664256102440961638465536…y＝x204163664100144196256…表2x01020304050607080…y1＝2x110241.05E＋061.07E＋091.10E＋121.13E＋151.15E＋181.18E＋211.21E＋24…y2＝x2010040090016002500360049006400…对应表1的图像如图(1)．对应表2的图像如图(2)．由图(1)可以看到，y＝2x和y＝x2的图像有两个交点(2，4)和(4，16)．结合图像可得：当x∈(0，2)时，2xx2；当x∈(2，4)时，2xx2；当x4时，2xx2.再结合图(2)可以发现，当自变量x越来越大时，y＝2x的图像就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道．【方法总结】(1)在计算器或计算机中，1.10×1012常表示成1.10E＋12.(2)对数函数y＝logax，当a1时，在(0，＋∞)上是增函数，其增长速度平缓(越来越慢)．指数函数y＝ax，当a1时，在(0，＋∞)上是增函数，其增长速度急剧(越来越快)，常用“指数爆炸”来形容．幂函数y＝xn，当n1时，在(0，＋∞)上是增函数，其增长速度相对平稳．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数型函数变化的变量是________．解析：以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的，从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.答案：y2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？【解】借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像(如图)，观察图像发现，在区间[10，1000]上，模型y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．对于模型y＝0.25x，它在区间[10，1000]上单调递增，当x∈(20，1000)时，y5.因此该模型不符合要求；对于模型y＝1.002x，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10，1000]上单调递增，因此当xx0时，y5，因此该模型也不符合要求；对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10，1000]上单调递增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.555，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有yx＝log7x＋1x≤0.25成立．令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10，1000]．利用计算器或计算机作出函数f(x)的图像(如图)．由图像可知它是单调递减的，因此f(x)≤f(10)≈－0.31670，log7x＋10.25x.所以，当x∈[10，1000]时，log7x＋1x0.25.说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润的25%.综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司要求．【方法总结】数学知识来源于客观实际，服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具，其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题，选择合适的数学模型是一件非常重要的事情，根据三种不同的增长模型的特点，选择符合自己的模型，才能产生更大的经济效益．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N＋)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N＋)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N＋)进行描述．三个函数，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．我们先用计算器或计算机计算一下三种方案所得回报的增长情况，并作出三个函数的图像如图所示．由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一、二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表．∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一、二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三.若不等式x2－logmx0在0，12内恒成立，求实数m的取值范围．【解】由x2－logmx0得x2logmx.在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的图像，要使x2logmx在0，12内恒成立，只需y＝logmx在0，12内的图像在y＝x2的上方，于是0m1，如图所示．∵x＝12时，y＝x2＝14，∴只要x＝12时，y＝logm12≥14＝logmm14.∴12≤m14，即116≤m.又0m1，∴116≤m1.故所求m的取值范围是116，1.【方法总结】指数函数、对数函数与一次、二次函数比较大小问题，可利用函数图像来进行．转化和数形结合思想是此类题常用思路．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a0且a≠1)的图像有两个不同的交点，求a的取值范围．解：函数y＝|ax－1|的图像可看作由y＝ax的图像向下平移1个单位，再把x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方而得到的．当0＜a＜1时，y＝|ax－1|的图像如图(1)所示．要使y＝2a与y＝|ax－1|有两个不同交点，则需0＜2a＜1，即0＜a＜12.当a＞1时，y＝|ax－1|的图像如图(2)所示．要使y＝2a与y＝|ax－1|有两个不同交点，则需0＜2a＜1，即0＜a＜12(舍去)．已知a2＞a13，求实数a的取值范围．【错解】设f(x)＝ax，则f(2)＝a2，f13＝a13，由于2＞13，∴f(2)＞f13，则f(x)在R上是增函数，∴a＞1.【错因分析】错解中构造指数函数，缩小了a的取值范围．对指数函数与幂函数未能很好的区分开．本题可构造幂函数求解．【正解】设y＝x2，y＝x13，在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝x2和y＝x13的图像，如图所示．当x取满足x2＞x13的值时，函数y＝x2的图像在函数y＝x13图像的上方．由图像可得，满足x2＞x13的x的取值范围是x＜0或x＞1，即实数a的取值范围是a＜0或a＞1，也就是(－∞，0)∪(1，＋∞)．即学即练稳操胜券3基础知识达标1．下列函数中，随着x的增大而增加速度最快的是()A．y＝1100exB．y＝100mxC．y＝x100D．y＝100×2x答案：A2．函数v随着t变化的函数值列表如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()A．v＝log2tB．v＝log12tC．v＝t2－12D．v＝2t－1解析：代入点(3.0，4.04)，(4.0，7.5)验证可知应选C．答案：C3．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别为f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2xD．f4(x)＝2x解析：在同一坐标系中画出函数f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)的图像可知(图略)，当x4时从上往下依次是f4(x)，f1(x)，f2(x)，f3(x)．答案：D4．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②第5个月时，浮萍的面积就会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；④浮萍每个月增加的面积都相等．其中正确的是()A．①②③B．①②③④C．②③④D．①②解析：当t＝1时，y＝2，即a＝2，①正确；当t＝5时，y＝25＝3230，②正确；浮萍从4m2经过1.5个月面积为23.5＝272＝27＝128144＝12，③不正确；随着时间的增加，浮萍每个月增加的面积逐渐增大，④不正确．答案：D5．以下是三个函数y1，y2，y3随x变化的函数值列表：x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y3011.585022.32192.58502.80743…其中，关于x有可能成对数型函数变化的函数是________．解析：根据指数函数、幂函数、对数函数的增长趋势，可判断y3增长的比较平缓，符合对数型函数的增长情况．答案：y3