2019-2020学年高中数学 第三章 统计案例 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用课后课时精练

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回归直线方程为y^＝b^x＋a^，那么下面说法不正确的是()A．直线y^＝b^x＋a^必经过点(x－，y－)B．直线y^＝b^x＋a^至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点C．直线y^＝b^x＋a^的斜率为∑ni＝1xiyi－nx－y－∑ni＝1x2i－nx－2D．直线y^＝b^x＋a^和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的残差平方和∑ni＝1[yi－(b^xi＋a^)]2是该坐标平面上所有直线与这些点残差平方和中最小的直线答案B答案解析回归直线体现了大多数数据点的排列趋势，并不一定经过其中的点．解析2．如图所示是四个残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是()解析选项A与B中的残差图都是水平带状分布，并且选项B的残差图散点分布集中，在更狭窄的范围内，所以B中回归模型的拟合效果最好，选B.解析答案B答案3．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则()A．r2r10B．0r2r1C．r20r1D．r2＝r1解析对于变量X与Y而言，Y随X的增大而增大，故变量Y与X正相关，即r10；对于变量U与V而言，V随U的增大而减小，故变量V与U负相关，即r20.故r20r1.解析答案C答案4．设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是()A．x和y的相关系数为直线l的斜率B．x和y的相关系数在0到1之间C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D．直线l过点(x－，y－)答案D答案解析因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关程度越强，所以A，B错误．C中n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数可以不相同，所以C错误．根据回归直线一定经过样本中心点可知D正确．所以选D.解析5．已知x与y之间的几组数据如下表：x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y^＝b^x＋a^，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y′＝b′x＋a′，则以下结论正确的是()A.b^b′，a^a′B.b^b′，a^a′C.b^b′，a^a′D.b^b′，a^a′答案C答案解析过(1,0)和(2,2)的直线方程为y′＝2x－2，画出六点的散点图，回归直线的大概位置如图所示．显然，b′b^，a^a′，故选C.解析二、填空题6．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y^＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析年饮食支出平均增加0.254×1＝0.254(万元)．解析答案0.254答案7．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的销售量与当月平均气温，数据如下表：月平均气温x(℃)171382月销售量y(件)24334055由表中数据算出线性回归方程y^＝b^x＋a^中的b^≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月该品牌羽绒服的销售量的件数约为________．答案46答案解析由表格得(x－，y－)为(10,38)，又(x－，y－)在回归直线y^＝b^x＋a^上，且b^≈－2，∴38＝－2×10＋a^，a^＝58，所以y^＝－2x＋58，当x＝6时，y^＝－2×6＋58＝46.解析8．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R2≈0.85，则表明气温解释了________的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的________，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多．解析由相关指数R2的意义可知，R2≈0.85表明气温解释了85%，而随机误差贡献了剩余的15%.解析答案85%15%答案三、解答题9．在一次抽样检查中，抽得5个样本点，数据如下表：x0.250.5124y1612521试建立y关于x的回归方程．解作出散点图，如图所示，由散点图可以看出，图象近似反比例函数在第一象限的部分，因此，令u＝1x，由已知数据，可得变换后的样本数据：答案u4210.50.25y1612521答案作出散点图，如图所示，可以看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程拟合．计算得u－＝1.55，y－＝7.2，∑5i＝1uiyi＝94.25，∑5i＝1u2i＝21.3125，答案则b^＝∑5i＝1uiyi－5u－y－∑5i＝1u2i－5u－2≈4.13，a^＝y－－b^u－≈0.8.从而得到y关于u的回归方程为y^＝4.13u＋0.8，则y关于x的回归方程为y^＝4.13x＋0.8.答案B级：能力提升练10．二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据：使用年数x234567售价y201286.44.43z＝lny3.002.482.081.861.481.10z关于x的折线图，如图所示：(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z与x的关系，请用相关系数加以说明；(2)求y关于x的回归方程，并预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少．(b^，a^小数点后保留两位有效数字)参考公式：b^＝i＝1nxi－x－yi－y－i＝1nxi－x－2＝i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx－2，a^＝y－－b^x－，r＝i＝1nxi－x－yi－y－i＝1nxi－x－2i＝1nyi－y－2.参考数据：i＝16xiyi＝187.4，i＝16xizi＝47.64，i＝16x2i＝139，i＝16xi－x－2＝4.18,i＝16yi－y－2＝13.96，i＝16zi－z－2＝1.53，ln1.46≈0.38.解(1)由题意，知x－＝16×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，z－＝16×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，又i＝16xizi＝47.64,i＝16xi－x－2＝4.18，i＝16zi－z－2＝1.53，∴r＝47.64－6×4.5×24.18×1.53＝－6.366.3954≈－0.99，答案∴z与x的相关系数大约为－0.99，说明z与x的线性相关程度很高．(2)b^＝47.64－6×4.5×2139－6×4.52＝－6.3617.5≈－0.36，∴a^＝z－－b^x－＝2＋0.36×4.5＝3.62，∴z与x的线性回归方程是z^＝－0.36x＋3.62，又z＝lny，∴y关于x的回归方程是y^＝e－0.36x＋3.62.令x＝9，得y^＝e－0.36×9＋3.62＝e0.38，∵ln1.46≈0.38，∴y^＝1.46，即预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为1.46万元．答案本课结束