2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变换 章末复习提升课课件 新人教A版必修4

章末复习提升课第三章三角恒等变换(2018·高考江苏卷)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．三角函数式的求值【解】(1)因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan（α＋β）1＋tan2αtan（α＋β）＝－211.三角函数式求值的三种常见类型(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．计算：4tanπ123tan2π12－3＝()A.233B．－233C.239D．－239解析：选D.原式＝－23·2tanπ121－tan2π12＝－23tanπ6＝－23×33＝－239.化简：1＋3tanθ2cos2θ＋sin2θ－1－3＋5tanθcos2θ－4sin2θ－4.三角函数式的化简与证明【解】原式＝1＋3tanθcos2θ－3sin2θ＋2sinθcosθ＋3＋5tanθ3cos2θ＋5sin2θ＋8sinθcosθ＝cosθ＋3sinθcosθ（cosθ＋3sinθ）（cosθ－sinθ）＋3cosθ＋5sinθcosθ（3cosθ＋5sinθ）（cosθ＋sinθ）＝1cos2θ－sinθcosθ＋1cos2θ＋sinθcosθ＝cosθ＋sinθcosθ（cos2θ－sin2θ）＋cosθ－sinθcosθ（cos2θ－sin2θ）＝2cosθcosθ·cos2θ＝2cos2θ.三角函数式的化简与证明，主要从三个方面寻求思路：(1)观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系．(2)观察角的特点，它们之间可通过何种形式联系起来．(3)观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一．1．化简sin250°1＋sin10°＝________．解析：sin250°1＋sin10°＝1－cos100°2（1＋sin10°）＝1－cos（90°＋10°）2（1＋sin10°）＝1＋sin10°2（1＋sin10°）＝12.答案：122．求证：sin4x1＋cos4x·cos2x1＋cos2x·cosx1＋cosx＝tanx2.证明：左边＝2sin2xcos2x2cos22x·cos2x2cos2x·cosx2cos2x2＝sin2x2cosx·2cos2x2＝2sinx·cosx2cosx·2cos2x2＝2sinx2cosx22cos2x2＝tanx2＝右边．所以等式成立．已知函数f(x)＝（sinx－cosx）sin2xsinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间．三角恒等变换与三角函数的综合问题【解】(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝(sinx－cosx)sin2xsinx＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1＝2sin2x－π4－1，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)函数y＝sinx的单调递减区间为2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．由2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋3π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8(k∈Z)．所以f(x)的单调递减区间为kπ＋3π8，kπ＋7π8(k∈Z)．解决三角恒等变换与三角函数综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数．解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化、角的代换)的运用；还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用．1．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝tanx1＋tan2x的最小正周期为()A.π4B.π2C．πD．2π解析：选C.f(x)＝tanx1＋tan2x＝sinxcosx1＋sin2xcos2x＝sinxcosxcos2x＋sin2x＝sinxcosx＝12sin2x，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.故选C.2．已知函数f(x)＝cosπ3＋xcosπ3－x－sinxcosx＋14.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间．解：(1)因为f(x)＝cosπ3＋xcosπ3－x－12sin2x＋14＝12cosx－32sinx12cosx＋32sinx－12sin2x＋14＝14cos2x－34sin2x－12sin2x＋14＝1＋cos2x8－3－3cos2x8－12sin2x＋14＝12(cos2x－sin2x)＝22cos2x＋π4，所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为22.(2)由2kπ≤2x＋π4≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为kπ－π8，kπ＋3π8，k∈Z.又因为x∈[0，π]，则f(x)在[0，π]上的单调递减区间为0，3π8，7π8，π.