您好,欢迎访问三七文档
考试标准课标要点学考要求高考要求1.三角恒等变换bb2.三角恒等变换的应用bb知识导图学法指导三角恒等变换的基本思路是“变换”,变换的基本方向有两个:一是变换函数名称,可以使用诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式、半角公式等;二是变换角的形式,可以使用和(差)角公式、倍角公式、半角公式、积化和差、和差化积等.1.半角公式状元随笔巧记“半角公式”无理半角常戴帽,象限确定帽前号;数1余弦加减连,角小值大用加号.“角小值大用加号”即y=1+cosα(α是锐角)是减函数,角小值大,因此用“+”号,而y=1-cosα为增函数,角大值大,因此用“-”号.2.辅助角公式asinx+bcosx=________________,其中tanφ=____.a2+b2·sin(x+φ)ba状元随笔(1)辅助角公式形式上是asinα+bcosα(ab≠0)的三角函数式,通过三角恒等变换可写成a2+b2sin(a+φ)的形式,其中tanφ=ba,此公式称为辅助角公式.其中φ可通过tanφ=ba以及点(a,b)所在的象限来确定.(2)辅助角公式的特殊情况sinα±cosα=2sinα±π4;sinα±3cosα=2sinα±π3;cosα±3sinα=2sinπ6±α.[小试身手]1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)cosα2=1+cosα2.()(2)若α是第一象限角,则tanα2=1-cosα1+cosα.()(3)对于任意α∈R,sinα2=12sinα都不成立.()×√×2.若cosα=13,且α∈(0,π),则cosα2的值为()A.63B.-63C.±63D.±33解析:因为α∈(0,π),所以α2∈0,π2.所以cosα2=1+cosα2=23=63.答案:A3.下列各式中,值为12的是()A.sin15°cos15°B.cos2π6-sin2π6C.tan30°1-tan230°D.1+cos60°2解析:选项A中,原式=12sin30°=14;选项B中,原式=cosπ3=12;选项C中,原式=12×2tan30°1-tan230°=12tan60°=32;选项D中,原式=cos30°=32.故选B.答案:B4.化简2cosx+6sinx等于()A.22cosπ6-xB.22cosπ3-xC.22cosπ6+xD.22cosπ3+x解析:2cosx+6sinx=2212cosx+32sinx=22cosπ3cosx+sinπ3sinx=22cosπ3-x.答案:B类型一三角函数式的化简求值例1(1)化简2cos2α-12tanπ4-αsin2π4+α=______;(2)1sin10°-3sin80°的值为________.【解析】(1)2cos2α-12tanπ4-αsin2π4+α=cos2α2cosπ4+αsinπ4+α×sin2π4+α=cos2αsinπ2+2α=cos2αcos2α=1.(2)原式=cos10°-3sin10°sin10°cos10°=412cos10°-32sin10°2sin10°cos10°=4sin30°cos10°-cos30°sin10°sin20°=4sin30°-10°sin20°=4.【答案】(1)1(2)4(1)切化弦,利用倍角公式,诱导公式化简求值.(2)80°=90°-10°,通分,利用辅助角化简求值.方法归纳三角函数式化简原则和方法(1)三角函数式化简的一般原则是:①能求值的应求出值;②三角函数种数尽量少;③项数尽量少;④分母中尽量不含三角函数;⑤次数尽量低.(2)三角函数式化简的常用方法:①降幂化倍角;②升幂角减半.(3)利用辅助角公式asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ),其中tanφ=ba或asinx+bcosx=a2+b2cosx-φ,其中tanφ=ab将形如asinx+bcosx(a,b不同时为零)的三角函数式写成一个角的某个函数值.跟踪训练1(1)求值:sinπ8=____________________________;cosπ8=____________________________.(2)[2019·正定检测]2+2cos8+21-cos8的化简结果是________.解析:(1)sinπ8=1-cosπ42=1-222=2-22;cosπ8=1+cosπ42=1+222=2+22.(2)原式=21+2cos24-1+21-1-2sin24=2|cos4|+22|sin4|=-2cos4-22sin4.答案:(1)2-222+22(2)-2cos4-22sin4(1)由sinπ80,所以1-cosπ42.由cosπ80,则cosπ8=1+cosπ42.(2)半角是相对的,4是8的半角,利用公式化简.类型二三角恒等式的证明例2若πα3π2,证明:1+sinα1+cosα-1-cosα+1-sinα1+cosα+1-cosα=-2cosα2;【证明】左边=sin2α2+cos2α2+2sinα2cosα21+2cos2α2-1-1-1-2sin2α2+sin2α2+cos2α2-2sinα2cosα21+2cos2α2-1+1-1-2sin2α2=sinα2+cosα222cosα2-sinα2+sinα2-cosα222cosα2+sinα2因为πα3π2,所以π2α23π4,所以sinα20cosα2.所以左边=sinα2+cosα222-cosα2-sinα2+sinα2-cosα222-cosα2+sinα2=-12sinα2+cosα2+12sinα2-cosα2=-2cosα2=右边.所以原等式成立.等式左边复杂,应从左边入手,利用公式化简,同时注意α的范围.方法归纳三角恒等式证明的思路通过观察分析等式两端的结构,从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手,寻求证明途径,左右归一;或消除等式两端的差异,达到形式上的统一.跟踪训练2求证:cos2α1tanα2-tanα2=14sin2α.证明:方法一左边=cos2αcosα2sinα2-sinα2cosα2=cos2αsinα2cosα2cos2α2-sin2α2=cos2αsinα2cosα2cosα=cosαsinα2cosα2=12sinαcosα=14sin2α=右边.所以原式成立.方法二左边=cos2αtanα21-tan2α2=12cos2α·2tanα21-tan2α2=12cos2αtanα=12cosαsinα=14sin2α=右边.所以原式成立.左边复杂,从左边入手化简,先切化弦再利用倍角、半角公式化简.类型三三角恒等变换与三角函数的综合例3设函数f(x)=cos2x+π3+sin2x.(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)若0απ2βπ,fπ4-β2=1,fα+β2=0,求cosα的值.【解析】(1)f(x)=cos2x+π3+sin2x=cos2xcosπ3-sin2xsinπ3+1-cos2x2=12-32sin2x.当-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ(k∈Z),即x∈-π4+kπ,π4+kπ(k∈Z)时,函数f(x)单调递减.所以函数f(x)的单调递减区间为-π4+kπ,π4+kπ(k∈Z).(2)由fπ4-β2=1,fα+β2=0,得cosβ=-33,sin(α+β)=33,∵0απ2βπ,∴α+β∈π2,3π2,∴sinβ=1-cos2β=1-13=63,cos(α+β)=-1-sin2α+β=-1-13=-63.∴cosα=cos(α+β-β)=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=-63×-33+33×63=223.状元随笔(1)利用两角和的余弦公式及降幂公式→将fx展开合并→利用正弦函数的单调性求函数fx的单调递减区间(2)f(4-2)=1,f(2+)=0→求出cosβ,sinα+β→结合角的范围→求sinβ,cosα+β的值→利用两角差的余弦公式求cosα的值方法归纳函数的解析式的次数可以降低,项数可以减少时,要先化简解析式成y=Asin(ωx+φ)+B的形式再研究其图象及性质.跟踪训练3已知函数f(x)=sin2x+23sinxcosx+3cos2x,x∈R,求:(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)求函数f(x)在区间-π6,π3上的值域.解析:(1)f(x)=1-cos2x2+3sin2x+31+cos2x2=2+3sin2x+cos2x=2sin2x+π6+2,所以最小正周期T=2π2=π,因为-π2+2kπ≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z时,f(x)为单调递增函数,所以f(x)的单调递增区间为kπ-π3,kπ+π6,k∈Z.(2)由(1)知f(x)=2+2sin2x+π6,由于-π6≤x≤π3,所以2x+π6∈-π6,5π6,所以sin2x+π6∈-12,1,所以f(x)∈[1,4],所以f(x)在区间-π6,π3上的值域为[1,4].利用二倍角公式,降幂公式化简函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式,再利用性质求解.
本文标题:2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换课件 新人教A版必修
链接地址:https://www.777doc.com/doc-8287961 .html