2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

3．1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式第1课时两角和与差的正弦、余弦公式第三章三角恒等变换考点学习目标核心素养两角和与差的正弦、余弦公式理解两角和与差的正弦、余弦公式的推导过程逻辑推理两角和与差的正弦、余弦公式的应用能够运用两角和与差的正弦、余弦公式解决求值、化简等问题数学运算、逻辑推理第三章三角恒等变换问题导学预习教材P128，并思考下列问题：1．两角和的余弦公式是什么？与两角差的余弦公式有什么不同？2．两角和与差的正弦公式是什么？两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式名称公式简记符号条件两角和的余弦cos(α＋β)＝___________________C(α＋β)α，β∈R两角和的正弦sin(α＋β)＝____________________S(α＋β)两角差的正弦sin(α－β)＝___________________S(α－β)cosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ■名师点拨公式的记忆方法(1)理顺公式间的联系．C(α＋β)―――→以－β代βC(α－β)――→诱导公式S(α－β)―――→以－β代βS(α＋β)(2)注意公式的结构特征和符号规律．对于公式C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”．对于公式S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成立．()(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ都不成立．()答案：(1)√(2)√(3)×cos75°cos15°－sin75°sin15°的值等于()A.12B．－12C．0D．1答案：C设α∈0，π2，若sinα＝35，则2sinα＋π4等于()A.725B.25C.75D.43答案：Asin75°＝________，sinπ12＝________．答案：6＋246－24求值：(1)cos105°；(2)sin50°－sin20°cos30°cos20°.给角求值【解】(1)cos105°＝cos(60°＋45°)＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝12×22－32×22＝2－64.(2)原式＝sin（20°＋30°）－sin20°cos30°cos20°＝sin20°cos30°＋cos20°sin30°－sin20°cos30°cos20°＝cos20°sin30°cos20°＝sin30°＝12.解决给角求值问题的方法(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．1．(2019·湖北黄冈中学期末考试)cosπ12cosπ6－sinπ12·sinπ6＝()A.12B.22C.32D．1解析：选B.cosπ12cosπ6－sinπ12sinπ6＝cosπ12＋π6＝cosπ4＝22，故选B.2．求下列各式的值．(1)sin105°；(2)sin165°；(3)sin47°－sin17°cos30°sin73°.解：(1)sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°·sin60°＝22×12＋22×32＝6＋24.(2)sin165°＝sin(180°－15°)＝sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝22×32－22×12＝6－24.(3)sin47°－sin17°cos30°sin73°＝sin（17°＋30°）－sin17°cos30°cos17°＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17°cos30°cos17°＝cos17°sin30°cos17°＝sin30°＝12.已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos2α与cos2β的值．给值求值【解】因为π2＜β＜α＜3π4，所以0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜3π2.所以sin(α－β)＝1－cos2（α－β）＝1－12132＝513，cos(α＋β)＝－1－sin2（α＋β）＝－1－－352＝－45.所以cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213－－35×513＝－3365，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213＋－35×513＝－6365.[变设问]若本例的条件不变，求sin2α的值．解：由本例解析可知sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×－45＋1213×－35＝－5665.给值(式)求值的解题策略(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．已知α∈0，π2，β∈－π2，0，且cos(α－β)＝35，sinβ＝－210，求sinα.解：因为α∈0，π2，β∈－π2，0，所以α－β∈(0，π)．因为cos(α－β)＝35，所以sin(α－β)＝45.因为β∈－π2，0，sinβ＝－210，所以cosβ＝7210.所以sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝45×7210＋35×－210＝22.(1)sinπ12－3cosπ12的值为()A．0B．－2C．2D.2(2)在△ABC中，A＝120°，则sinB＋sinC的最大值为________．辅助角公式【解析】(1)sinπ12－3cosπ12＝2(12sinπ12－32·cosπ12)＝2sinπ12－π3＝2sin－π4＝－2.(2)由A＝120°，A＋B＋C＝180°，得sinB＋sinC＝sinB＋sin(60°－B)＝32cosB＋12sinB＝sin(60°＋B)．显然当B＝30°时，sinB＋sinC取得最大值1.【答案】(1)B(2)1辅助角公式及其运用(1)公式形式：公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)(或asinα＋bcosα＝a2＋b2cos(α－φ))将形如asinα＋bcosα(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．1．化简315sinx－35cosx＝________．解析：315sinx－35cosx＝6532sinx－12cosx＝－65cosx＋π3.答案：－65cosx＋π32．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝62，则a，b，c的大小关系是________(用“＜”连接)．解析：a＝2sin(14°＋45°)＝2sin59°，b＝2sin(16°＋45°)＝2sin61°，c＝2·32＝2sin60°，由y＝sinx在(0°，90°)上的单调性可知acb.答案：acb1．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32B.32C．－12D.12解析：选D.sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12，故选D.2．函数y＝sin2x＋π4＋sin2x－π4的最小值为()A.2B．－2C．－2D.3解析：选C.因为y＝sin2x＋π4＋sin2x－π4＝sin2xcosπ4＋cos2xsinπ4＋sin2xcosπ4－cos2xsinπ4＝2sin2x，所以所求函数的最小值为－2.3．已知sinα＝35，cosβ＝－513，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．解：因为α为第一象限角，β为第二象限角，sinα＝35，cosβ＝－513，所以cosα＝45，sinβ＝1213，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝35×－513＋45×1213＝3365，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝35×－513－45×1213＝－6365.