2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.1 空间向量与平行、垂直关系课件

第一课时空间向量与平行、垂直关系【课标要求】1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题和垂直问题.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系和垂直关系.自主学习基础认识|新知预习|1．平面的法向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线的向量．(2)平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．平行或共线2．空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．a1a2＋b1b2＋c1c2＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝03．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b＝0⇔.(2)线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥a⇔a∥u⇔a＝λu⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔.a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0|自我尝试|1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)(1)直线l的方向向量是惟一的()(2)若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则AB→·n＝0()(3)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行()×√√2．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是()A．(0，－3,1)B．(2,0,1)C．(－2，－3,1)D．(－2,3，－1)解析：问题即求与n共线的一个向量．即n＝(2，－3，1)＝－(－2,3，－1)．答案：D3．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于()A．3B．6C．－9D．9解析：∵l⊥α，v与平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0，∴1×3＋3×2＋z×1＝0，∴z＝－9.答案：C4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1A解析：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.设正方体的棱长为1.则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E12，12，1，∴CE→＝12，－12，1，AC→＝(－1,1,0)，BD→＝(－1，－1,0)，A1D＝(－1,0，－1)，A1A＝(0,0，－1)．∵CE→·BD→＝(－1)×12＋(－1)×－12＋0×1＝0，∴CE⊥BD.答案：B5．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，分别以长方体的两个顶点为始点和终点的向量中：(1)直线AB的方向向量有________个；(2)平面AA1B1B的法向量有________个．88解析：(1)直线AB的方向向量有：BA→，AB→，CD→，DC→，B1A1→，A1B1→，C1D1→，D1C1→，共8个．(2)平面AA1B1B的法向量有：DA→，AD→，CB→，BC→，D1A1→，A1D1→，C1B1→，B1C1→，共8个．课堂探究互动讲练类型一求平面的法向量[例1]已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，求平面α的一个法向量．【解析】因为A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，所以AB→(1，－2，－4)，AC→＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则有n·AB→＝0，n·AC→＝0，即x－2y－4z＝0，2x－4y－3z＝0.得z＝0，x＝2y，令y＝1，则x＝2，所以平面α的一个法向量为n＝(2,1,0).方法归纳利用待定系数法求法向量的解题步骤跟踪训练1在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，G，E，F分别为AA1，AB，BC的中点，求平面GEF的一个法向量．解析：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D－xyz.则E1，12，0，F12，1，0，G1，0，12.由此得GE→＝0，12，－12，EF→＝12，－12，0.设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z)．由n⊥GE→，n＝FE→可得，n·GE→＝12y－12z＝0，n·FE→＝12x－12y＝0，∴z＝y，x＝y.令y＝1，则x＝1，z＝1，即平面GEF的一个法向量为n＝(1,1,1).类型二用空间向量证明平行问题[例2]已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.【证明】如图所示建立空间直角坐标系D－xyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以FC1→＝(0,2,1)，DA→＝(2,0,0)，AE→＝(0,2,1)．(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥DA→，n1⊥AE→，即n1·DA→＝2x1＝0，n1·AE→＝2y1＋z1＝0，得x1＝0，z1＝－2y1，令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．因为FC1→·n1＝－2＋2＝0，所以FC1→⊥n1.又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.(2)因为C1B1→＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．由n2⊥FC1→，n2⊥C1B1→，得n2·FC1→＝2y2＋z2＝0，n2·C1B1→＝2x2＝2，得x2＝0，z2＝－2y2.令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.方法归纳利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；(2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明.跟踪训练2在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS.证明：法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，PQ→＝(－3,2,1)，RS→＝(－3,2,1)，∴PQ→＝RS→，∴PQ→∥RS→，即PQ∥RS.法二：RS→＝RC→＋CS→＝12DC→－DA→＋12DD1→，PQ→＝PA1→＋A1Q→＝12DD1→＋12DC→－DA→，∴RS→＝PQ→，∴RS→∥PQ→，即RS∥PQ.类型三空间向量向量证明垂直问题[例3]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC.【证明】设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B，(2,2,2),E(2,2,1)，F(1,1,2)．法一：EF→＝(－1，－1,1)，AB1＝(0,2,2)，AC→＝(－2,2,0)，∴EF→·AB1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0，EF→·AC→＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0，∴EF⊥AB1，EF⊥AC，又AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC.法二：设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)．又AB→＝(0,2,2)，AC→＝(－2,2,0)，则n⊥AB1→，n⊥AC→⇒n·AB1→＝2y＋2z＝0，n·AC→＝－2x＋2y＝0，令x＝1，可得平面B1AC的一个法向量为n＝(1,1，－1)．又EF→＝－n，∴EF→∥n，∴EF⊥平面B1AC.方法归纳(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.跟踪训练3在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.解析：设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E12，12，12.方法一如图，连接AC，交BD于点D，连接OE，则点O的坐标为12，12，0.易知AS→＝(0,0,1)，OE→＝0，0，12，∴OE→＝12AS→，∴OE∥AS.又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.方法二设平面BDE的法向量n1＝(x，y，z)．易知BD→＝(－1,1,0)，BE→＝－12，12，12，∴n1⊥BD→，n1⊥BE→，即n1·BD→＝－x＋y＝0，n1·BE→＝－12x＋12y＋12z＝0.令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1,1,0)．∵AS⊥底面ABCD，∴平面ABCD的一个法向量为n2＝AS→＝(0,0,1)．∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD.|素养提升|1．向量法处理空间平行问题的两个应用(1)求字母的值：通过线线、线面、面面平行转化为向量的共线、垂直的关系，再利用向量关系构造关于字母的等量关系，进而求出字母的值．(2)求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量，利用空间中点、线、面的位置关系，转化为向量的位置关系，进而建立与所求点的坐标有关的等式．2．空间垂直关系的判断方法(1)坐标法：利用图形建立恰当的坐标系，把空间垂直问题转化为向量坐标的计算问题．(2)向量法：通过将相关向量用基向量表示，然后通过数量积运算完成证明的方法．3．向量法证明空间几何问题的两种基本思路思路一：用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断．思路二：用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题．(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系．(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．|巩固提升|1．已知a＝1，2，52，b＝32，x，y分别是直线l1，l2的一个方向向量．若l1∥l2，则()A．x＝2，y＝152B．x＝32，y＝154C．x＝3，y＝15D．x＝3，y＝154解析：∵l1∥l2，∴321＝x2＝y52，∴x＝3，y＝154，故选D.答案：D2．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1,1)B.1，3，32C.1，－3，－32D.－1，3，－32解析：依题意知，PA→⊥n，所以PA→·n＝0，逐一验证可知，选B.答案：B3．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C