2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 3.2.2

课后课时精练2A级：基础巩固练一、选择题1．已知平面α∥平面β，n＝(1，－1,1)为平面α的一个法向量，则下列向量是平面β的法向量的是()A．(1,1,1)B．(－1,1，－1)C．(－1，－1，－1)D．(1,1，－1)答案B解析∵(－1,1，－1)＝－n，∴(－1,1，－1)是平面β的一个法向量．答案解析32．直线l的方向向量为s＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则x的值为()A．－2B．－2C.2D．±2答案D解析∵l∥平面α，∴s⊥n，即s·n＝0.∴(－1,1,1)·(2，x2＋x，－x)＝0，即－2＋x2＋x－x＝0，∴x＝±2.答案解析43．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()5A．相交B．平行C．垂直D．不能确定答案B答案6解析建系如图，设正方体的棱长为2，则点A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)．∴M(2,1,1)，N(1,1,2)．∴MN→＝(－1,0,1)．又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)，∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，∴MN→⊥n.∴MN∥平面BB1C1C.故选B.解析74．如图所示，在空间直角坐标系中BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则向量OD→的坐标为()8A.－32，－12，0B.0，－12，32C.－12，－32，0D.0，12，－32答案B答案9解析如图所示，过D作DE⊥BC，垂足为E.在Rt△BCD中，由∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得BD＝1，CD＝3.解析10∴DE＝CD·sin30°＝32，OE＝OB－BD·cos60°＝1－12＝12.∴D点坐标为0，－12，32，即向量OD→的坐标为0，－12，32.故选B.解析115．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.12这四个结论中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4答案C解析∵A1M→＝A1A→＋AM→＝A1A→＋12AB→，D1P→＝D1D→＋DP→＝A1A→＋12AB→，∴A1M→∥D1P→，从而A1M∥D1P，可得①③④正确．又B1Q与D1P不平行，故②不正确．故选C.答案解析136．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是()14A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BDB．当点Q为线段B1P的三等分点(靠近点P)时，DQ⊥平面A1BDC．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BDD．不存在DQ与平面A1BD垂直答案D答案15解析以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，D0，1，12，P(0，2,0)，A1B→＝(1,0,1)，A1D→＝0，1，12，B1P→＝(－1，2,0)，DB1→＝1，－1，－12.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·A1B→＝x＋z＝0，n·A1D→＝y＋12z＝0，取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2,1，－2)．假解析16设DQ⊥平面A1BD，且B1Q→＝λB1P→＝λ(－1，2,0)＝(－λ，2λ，0)，则DQ→＝DB1→＋B1Q→＝1－λ，－1＋2λ，－12，因为DQ→也是平面A1BD的法向量，所以n＝(2,1，－2)与DQ→＝1－λ，－1＋2λ，－12共线，于是有1－λ2＝－1＋2λ1＝－12－2＝14成立，但此方程关于λ无解．故不存在点Q，使DQ与平面A1BD垂直，故选D.解析17二、填空题7．已知直线a，b的方向向量分别为m＝(4，k，k－1)和n＝k，k＋3，32，若a∥b，则k＝________.答案－2解析①当k＝0时，a与b不平行．②当k≠0时，由4k＝kk＋3＝k－132，解得k＝－2.答案解析188．已知△ABC是∠B为直角顶点的等腰直角三角形，其中BA→＝(1，m,2)，BC→＝(2，m，n)(m，n∈R)，则m＋n＝________.答案－1解析由题意得BA→·BC→＝0，且|BA→|＝|BC→|，∴2＋m2＋2n＝0，1＋m2＋4＝4＋m2＋n2，∴m＝0，n＝－1，答案解析199．如下图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________.答案a或2a答案20解析以B为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系Bxyz.解析21∵AC＝2a，∠ABC＝90°，∴AB＝BC＝2a.∴C(0，2a，0)，B1(0,0,3a)，D22a，22a，3a，设E的坐标为(2a，0，b)，CE→＝(2a，－2a，b)，B1E→＝(2a,0，b－3a)，B1D→＝22a，22a，0.∵CE→·B1D→＝a2－a2＋0＝0，∴CE→⊥B1D→恒成立．由B1E→·CE→＝2a2＋b(b－3a)＝b2－3ab＋2a2＝0得b＝a或b＝2a.∴当|AE→|＝a或|AE→|＝2a时，CE⊥平面B1DE.解析22三、解答题10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.23证明(1)以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，答案24设DC＝PD＝1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1，1,0)，E0，12，12.∴PB→＝(1,1，－1)，DE→＝0，12，12，EB→＝1，12，－12.设F(x，y，z)，则PF→＝(x，y，z－1)，EF→＝x，y－12，z－12.∵EF→⊥PB→，∴x＋y－12－z－12＝0，即x＋y－z＝0.①又∵PF→∥PB→，可设PF→＝λPB→，∴x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②答案25由①②可知，x＝13，y＝13，z＝23，∴EF→＝13，－16，16.设n1＝(x1，y1，z1)为平面EDB的一个法向量，则有n1·DE→＝0，n1·EB→＝0，即12y1＋12z1＝0，x1＋12y1－12z1＝0，∴x1＝z1，y1＝－z1.取z1＝－1，则n1＝(－1,1，－1)．∵PA→＝(1,0，－1)，∴PA→·n1＝0.又∵PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB.答案26(2)设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的一个法向量，则有n2·EF→＝0，n2·DE→＝0，即13x2－16y2＋16z2＝0，12y2＋12z2＝0，∴x2＝－z2，y2＝－z2.取z2＝1，则n2＝(－1，－1,1)．∴PB→∥n2，∴PB⊥平面EFD.答案27B级：能力提升练1．在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.28证明以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设A(0,0，a)，则易得B(0,0,0)，C32a，32a，0，D(0，3a，0)，E34a，34a，a2，F0，32a，a2，故AB→＝(0,0，－a)，BC→＝32a，32a，0.答案29设平面ABC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1·AB→＝0，n1·BC→＝0，即－az1＝0，x1＋y1＝0，取x1＝1，∴n1＝(1，－1,0)为平面ABC的一个法向量．设n2＝(x2，y2，z2)为平面BEF的一个法向量，同理可得n2＝(1,1，－3)．∵n1·n2＝(1，－1,0)·(1,1，－3)＝0，∴平面BEF⊥平面ABC.答案302．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，M分别是BC，AE的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a.试问在线段CD1上是否存在一点N使MN∥平面ADD1A1，若存在确定N的位置，若不存在说明理由．31解以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，E12a，2a，0，M34a，a，0，则DC→＝(0,2a,0)，CD1→＝(0，－2a，a)．答案32假设CD1上存在点N使MN∥平面ADD1A1，并设CN→＝λCD1→＝(0，－2aλ，aλ)(0λ1)．则DN→＝DC→＋CN→＝(0,2a,0)＋(0，－2aλ，aλ)＝(0，2a(1－λ)，aλ)，MN→＝DN→－DM→＝－34a，a－2aλ，aλ.又DC→是平面ADD1A1的一个法向量，∴MN→⊥DC→，则2a(a－2aλ)＝0，λ＝12.又MN⊄平面ADD1A1，故存在N为CD1的中点使MN∥平面ADD1A1.答案本课结束