2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 3.2.1

课后课时精练2A级：基础巩固练一、选择题1．下列各结论中，正确的共有()①同一平面的不同的法向量是共线向量；②若a是平面α的法向量，b是平面α内的向量，则a·b＝0；③设非零向量b，c均在平面α内，若a·b＝0，a·c＝0，则a是平面α的法向量．A．0个B．1个C．2个D．3个答案C答案3解析①垂直于同一平面的直线平行，正确；②若一直线垂直于这个平面，则这条直线垂直于平面内任一条直线，正确；③若b∥c，则不正确．解析42．已知直线l1的一个方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的一个方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是()A．－3或1B．3或－1C．－3D．1答案A解析∵|a|＝22＋42＋x2＝6，∴x＝±4.又a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，∴y＝－1－12x.当x＝4时，y＝－3；当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝－3或1.答案解析53．下面各组向量为直线l1与l2的方向向量，则l1与l2一定不平行的是()A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)B．a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)C．a＝(2,3,0)，b＝(4,6,0)D．a＝(－2,3,5)，b＝(－4,6,8)答案D解析l1与l2不平行则其方向向量一定不共线．A中，b＝－2a；B中，b＝－3a；C中，b＝2a.故选D.答案解析64．已知A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(1,1，x)，若AD⊂平面ABC，则实数x的值是()A．－1B．0C．1D．2答案B解析易求得平面ABC的法向量u＝(0,0,1)，而AD→＝(1,1，x)，∴当AD⊂平面ABC时，AD→·u＝0.∴1×0＋1×0＋x＝0.∴x＝0.答案解析75．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交答案B解析∵u＝－2a，∴u∥a，∴l⊥α.故选B.答案解析86．在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，给出下列结论：①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)；③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)．9其中正确的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个答案C解析DD1∥AA1，AA1→＝(0,0,1)；BC1∥AD1，AD1→＝(0,1,1)，直线AD⊥平面ABB1A1，AD→＝(0,1,0)；C1点坐标为(1,1,1)，AC1→与平面B1CD不垂直，∴④错误．故选C.答案解析10二、填空题7．已知A，B，C三点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2，－1,1)，C(3，λ，λ)，若AB→⊥AC→，则λ等于________．答案145解析AB→＝(1，－3，－2)，AC→＝(2，λ－2，λ－3)，∵AB→⊥AC→，即AB→·AC→＝0，∴2－3(λ－2)－2(λ－3)＝0，解得λ＝145.答案解析118．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则平面ACB1的一个法向量为________．答案(1,1，－1)答案12解析建立空间直角坐标系，如图所示，则A(1,0,0)，B(1，1,0)，C(0,1,0)，B1(1,1,1)，∴AC→＝(－1,1,0)，AB1→＝(0,1,1)．设平面ACB1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由n⊥AC→，n⊥AB1→，得－x＋y＝0，y＋z＝0，令x＝1，得n＝(1,1，－1)．解析139．若A0，2，198，B1，－1，58，C－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.答案2∶3∶(－4)答案14解析AB→＝1，－3，－74，AC→＝－2，－1，－74，由a·AB→＝0，a·AC→＝0，得x－3y－74z＝0，－2x－y－74z＝0，解得x＝23y，z＝－43y，所以x∶y∶z＝23y∶y∶－43y＝2∶3∶(－4)．解析15三、解答题10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，G，E，F分别为AA1，AB，BC的中点，求平面GEF的一个法向量．解如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．答案16则E1，12，0，F12，1，0，G1，0，12.由此得GE→＝0，12，－12，FE→＝12，－12，0.设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z)．答案17由n⊥GE→，n⊥FE→可得，n·GE→＝12y－12z＝0，n·FE→＝12x－12y＝0，∴z＝y，x＝y.令y＝1，则x＝1，z＝1，即平面GEF的一个法向量为n＝(1,1,1)．答案18B级：能力提升练1．空间直角坐标系中，已知A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,2)，P(x，y，z)是平面ABC内任意一点，试求x，y，z满足的方程．19解由题设可知AB→＝(－3,4,0)，AC→＝(－3,0,2)不共线．设n＝(a，b，c)，且n垂直于平面ABC，则n⊥AB→且n⊥AC→，故n·AB→＝－3a＋4b＝0，n·AC→＝－3a＋2c＝0.于是a4＝b3＝c6，可取n＝(4,3,6)．P(x，y，z)∈平面ABC⇔AP→⊥n⇔AP→·n＝0⇔4(x－3)＋3y＋6z＝0⇔4x＋3y＋6z－12＝0.答案202．已知A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)(1)求平面ABC的一个法向量；(2)证明：向量a＝(3，－4,1)与平面ABC平行．21解(1)因为A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，所以AB→＝(－2，－1,3)，AC→＝(1，－3,2)．设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，则n·AB→＝0，n·AC→＝0，所以－2x－y＋3z＝0，x－3y＋2z＝0，解得x＝y，z＝y，令y＝1，则x＝1，z＝1，所以平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)．答案22(2)证法一：若存在实数m，n使a＝m·AB→＋n·AC→，即(3，－4,1)＝m(－2，－1,3)＋n(1，－3,2)，所以－2m＋n＝3，－m－3n＝－4，3m＋2n＝1，解得m＝－57，n＝117.所以a＝－57AB→＋117AC→，所以向量a与平面ABC平行．证法二：因为a·n＝(3，－4,1)·(1,1,1)＝3－4＋1＝0，所以a⊥n，所以向量a与平面ABC平行．答案本课结束