2019-2020学年高中数学 第三章 函数的应用章末总结课件 新人教A版必修1

章末总结网络建构知识辨析判断下列说法是否正确(请在括号中填“√”或“×”)1.函数的零点是一个点的坐标.()×2.若函数y=f(x)在(a,b)内有零点,则f(a)·f(b)0.()3.二次函数一定有零点.()4.若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为(x1,0),(x2,0).()5.所有函数的零点都可以用二分法来求.()6.函数y=x2比y=2x增长的速度更快些.()7.当x很大时,函数y=11000·2x的增长速度比y=x200增长速度快.()×××××√题型归纳·素养提升题型一函数零点的判断[典例1](1)方程(13)x=12x的解所在的区间是()(A)(0,13)(B)(13,12)(C)(12,23)(D)(23,1)(1)解析:令函数f(x)=(13)x-12x,易知函数f(x)为[0,+∞)上的减函数.又f(0)=10,f(13)=1313-12130,f(12)=1213-12120,由函数零点的存在性定理可知函数f(x)=(13)x-12x的零点所在的区间是(13,12).即方程(13)x=12x的解所在的区间是(13,12).故选B.(2)解析:设f(x)=x3-(12)x-2,则函数f(x)为(-∞,+∞)上的增函数.因为f(1)=1-(12)-1=1-2=-10,f(2)=23-(12)2-2=8-1=70,所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2).又因为函数y=x3与y=(12)x-2图象的交点为(a,b),所以a所在的区间是(1,2).故选B.(2)函数y=x3与y=(12)x-2图象的交点为(a,b),则a所在的区间是()(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,3)(D)(3,4)(3)试讨论函数f(x)=x2-2|x|-a-1(a∈R)的零点个数.(3)解:设g(x)=x2-2|x|,h(x)=a+1,则g(x)=222,0,2,0.xxxxxxg(x),h(x)的图象如图所示,g(-2)=g(0)=g(2)=0,g(-1)=g(1)=-1,当a+1-1,即a-2时,g(x)与h(x)无交点;当a+1=-1或a+10,即a=-2或a-1时,g(x)与h(x)有两个交点;当-1a+10,即-2a-1时,g(x)与h(x)有四个交点;当a+1=0,即a=-1时,g(x)与h(x)有三个交点.所以当a-2时,函数f(x)=x2-2|x|-a-1无零点;当a=-2或a-1时,函数f(x)有两个零点;当-2a-1时,函数f(x)有四个零点;当a=-1时,函数f(x)有三个零点.规律方法(1)方程的根、函数的零点以及两函数图象交点的横坐标所在区间均可以转化为函数的零点,利用函数零点的存在性定理判断.(2)利用函数的单调性或数形结合思想判断函数零点个数.题型二函数零点的应用[典例2](1)已知函数f(x)=|x(x+3)|,若h(x)=f(x)-x+b有四个零点,则实数b的取值范围是.(1)解析:令f(x)-x+b=0,所以b=x-|x(x+3)|,作出y=x-|x(x+3)|的图象,要使函数h(x)=f(x)-x+b有四个零点,则y=x-|x(x+3)|与y=b的图象有四个不同的交点,所以-4b-3.答案:(-4,-3)(2)解:设f(x)=(m+2)x2-(2m+4)x+(3m+3),如图,有两种情况.第一种情况,20,(1)0,mf解得-2m-12.第二种情况,20,(1)0,mf此不等式组无解.综上,m的取值范围是(-2,-12).(2)(2018·北京高一检测)已知二次函数y=(m+2)x2-(2m+4)x+(3m+3)有两个零点,一个大于1,一个小于1,求实数m的取值范围.规律方法已知函数零点或方程根的个数求参数时常借助数形结合思想及分类讨论思想求解,分类时要注意不重不漏.题型三已知函数模型解决实际问题[典例3](2019·江苏江阴四校高一上期中)如图,在长为10千米的河流OC的一侧有一条观光带,观光带的前一部分为曲线段OAB,设曲线段OAB为函数y=ax2+bx+c(a≠0),x∈[0,6](单位:千米)的图象,且图象的最高点为A(4,4);观光带的后一部分为线段BC.(1)求函数为曲线段OABC的函数y=f(x),x∈[0,10]的解析式;解:(1)因为曲线段OAB过点O,且最高点为A(4,4)0,1644,4,2cabcba解得1,42,0.abc所以当x∈[0,6]时,y=-14x2+2x因为后一部分为线段BC,B(6,3),C(10,0),当x∈(6,10]时,y=-34x+152.综上,f(x)=212,[0,6],43415,(6,10]2xxxxx解:(2)设OM=t(0t≤2),则MQ=-14t2+2t,PN=-14t2+2t,由PN=-14t2+2t=-34x+152,得x=13t2-83t+10,所以点N(13t2-83t+10,0),所以绿化带的总长度y=MQ+QP+PN=2(-14t2+2t)+(13t2-113t+10)=-16t2+13t+10.当t=1时,ymax=616.所以当OM长为1千米时,绿化带的总长度最长.(2)若计划在河流OC和观光带OABC之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ,绿化带由线段MQ,QP,PN构成,其中点P在线段BC上,当OM长为多少时,绿化带的总长度最长?规律方法解决已给出函数模型的实际应用题,关键要分清函数类型,将实际问题转化为相应的数学模型,求解时,要注意相应函数定义域以及实际生活中自变量取值的限制条件.题型四函数模型的构建问题[典例4]某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超过6元,则每提高1元,租不出去的自行车就增加3辆.旅游点规定:每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元,每辆自行车的日租金x元只取整数,用y表示出租所有自行车的日净收入(即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费后的所得).(1)求函数y=f(x)的解析式;解:(1)当x≤6时,y=50x-115,令50x-1150,解得x2.3.又因为x∈N,x≥3,所以3≤x≤6,且x∈N.当6x≤20,且x∈N时,y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115,综上可知y=f(x)=250115,36,N,368115,620,Nxxxxxxx解:(2)当3≤x≤6,且x∈N时,因为y=50x-115是增函数,所以当x=6时,ymax=185元.当6x≤20,且x∈N时,y=-3x2+68x-115=-3(x-343)2+8113,所以当x=11时,ymax=270.综上所述,当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多,为270元.(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元?日净收入最多为多少元?规律方法(2)建模:将文字语言中含有相等意义的关键词转化成数学语言,即用等式表达,用数学知识建立相应的函数模型,即写出相关的函数解析式(注意有关量的实际意义,即函数的定义域).建立数学模型的步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;1.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=e,0,ln,0,xxxxg(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()(A)[-1,0)(B)[0,+∞)(C)[-1,+∞)(D)[1,+∞)真题体验·素养升级C解析:令h(x)=-x-a,则g(x)=f(x)-h(x).在同一坐标系中画出y=f(x),y=h(x)图象的示意图,如图所示.若g(x)存在2个零点,则y=f(x)的图象与y=h(x)的图象有2个交点,平移y=h(x)的图象,可知当直线y=-x-a过点(0,1)时,有2个交点,此时1=-0-a,a=-1.当y=-x-a在y=-x+1上方,即a-1时,仅有1个交点,不符合题意.当y=-x-a在y=-x+1下方,即a-1时,有2个交点,符合题意.综上,a的取值范围为[-1,+∞).故选C.2.(2018·浙江卷)已知λ∈R,函数f(x)=24,,43,xxxxx当λ=2时,不等式f(x)0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是.解析:当λ=2时,f(x)=24,2,43,2,xxxxx其图象如图(1).由图知f(x)0的解集为(1,4).若f(x)=24,,43,xxxxx恰有2个零点有两种情况:①二次函数有两个零点,一次函数无零点;②二次函数与一次函数各有一个零点.在同一平面直角坐标系中画出y=x-4与y=x2-4x+3的图象,如图(2),平移直线x=λ,可得λ∈(1,3]∪(4,+∞).答案:(1,4)(1,3]∪(4,+∞)3.(2018·天津卷)已知a0,函数f(x)=222,0,22,0.xaxaxxaxax若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是.解析:作出函数f(x)的示意图,如图,l1是过原点且与抛物线y=-x2+2ax-2a相切的直线,l2是过原点且与抛物线y=x2+2ax+a相切的直线.由图可知,当直线y=ax在l1,l2之间(不含直线l1,l2)变动时,符合题意.由2,22,yaxyxaxa消去y,整理得x2-ax+2a=0.由Δ=0,得a=8(a=0舍去).由2,2,yaxyxaxa消去y,整理得x2+ax+a=0.由Δ=0,得a=4(a=0舍去).综上,得4a8.答案:(4,8)解析:依题意有192=eb,48=e22k+b=e22k·eb,所以e22k=48eb=48192=14,所以e11k=12或-12(舍去),于是该食品在33℃的保鲜时间是e33k+b=(e11k)3·eb=(12)3×192=24(小时).答案:244.(2015·四川卷)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是小时.