2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.2 空

3.1.2空间向量的数乘运算课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课前自主预习课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．空间向量的数乘运算(1)定义：，称为向量的数乘运算．□01实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)向量a与λa的关系λ的范围方向关系模的关系λ0方向λ＝0λa＝0，其方向是任意的λ0方向λa的模是a的模的倍□02相同□03相反□04|λ|课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)空间向量的数乘运算律设λ，μ是实数，则有：①分配律：λ(a＋b)＝.②结合律：λ(μa)＝.□05λa＋λb□06(λμ)a课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．共线向量与共面向量(1)共线(平行)向量课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)共面向量课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算．()(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．()(3)如果OP→＝OA→＋tAB→，则P，A，B共线．()(4)空间中任意三个向量一定是共面向量．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝______b.(2)已知b＝－5a(|a|＝2)，则向量b的长度为________，向量b的方向与向量a的方向________．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(3)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1E→＝14A1C1→，若AE→＝xAA1→＋y(AB→＋AD→)，则x＝______，y＝______.(4)(教材改编P89T1)已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则AB→＋12(BD→＋BC→)等于________．答案(1)－57(2)10相反(3)114(4)AG→解析(4)AB→＋12(BD→＋BC→)＝AB→＋12×(2BG→)＝AB→＋BG→＝AG→.答案解析课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练课堂互动探究课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究1空间向量的数乘运算例1已知正四棱锥P－ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．(1)OQ→＝PQ→＋yPC→＋zPA→；(2)PA→＝xPO→＋yPQ→＋PD→.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[解](1)如图，∵OQ→＝PQ→－PO→＝PQ→－12(PA→＋PC→)＝PQ→－12PC→－12PA→，∴y＝z＝－12.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)∵O为AC的中点，Q为CD的中点，∴PA→＋PC→＝2PO→，PC→＋PD→＝2PQ→，∴PA→＝2PO→－PC→，PC→＝2PQ→－PD→，∴PA→＝2PO→－2PQ→＋PD→，∴x＝2，y＝－2.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升利用向量的线性运算求参数的技巧利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法，一般地可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练1】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简：A1O→－12AB→－12AD→；(2)设E是棱DD1上的点，且DE→＝23DD1→，若EO→＝xAB→＋yAD→＋zAA1→，试求实数x，y，z的值．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解(1)A1O→－12(AB→＋AD→)＝A1O→－AO→＝A1O→＋OA→＝A1A→.(2)连接AE，则EO→＝AO→－AE→＝12(AB→＋AD→)－AD→－23AA1→＝12AB→－12AD→－23AA1→，∴x＝12，y＝－12，z＝－23.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究2共线向量例2如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E→＝2ED1→，F在对角线A1C上，且A1F→＝23FC→.求证：E，F，B三点共线．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[证明]连接EF，EB，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c.∵A1E→＝2ED1→，A1F→＝23FC→，∴A1E→＝23A1D1→，A1F→＝25A1C→.∴A1E→＝23AD→＝23b，A1F→＝25(AC→－AA1→)＝25(AB→＋AD→－AA1→)＝25a＋25b－25c.∴EF→＝A1F→－A1E→＝25a－415b－25c＝25a－23b－c.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练又EB→＝EA1→＋A1A→＋AB→＝－23b－c＋a＝a－23b－c，∴EF→＝25EB→，∴E，F，B三点共线．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[条件探究]将例2的条件改为“O为A1C上一点，且A1O→＝23A1C→，BD与AC交于点M”．求证：C1，O，M三点共线．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练证明连接AO，AC1，A1C1.∵A1O→＝23A1C→，∴AO→＝AA1→＋A1O→＝AA1→＋23A1C→＝AA1→＋23(A1A→＋AC→)＝13AA1→＋23AC→.答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练∵AC→＝2AM→，AA1→＝AC1→＋C1A1→＝AC1→－AC→＝AC1→－2AM→，∴AO→＝13(AC1→－2AM→)＋43AM→＝13AC1→＋23AM→.∵13＋23＝1，∴C1，O，M三点共线．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升1.判断向量共线的策略(1)熟记共线向量的充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ，使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b.(2)判断向量共线的关键：找到实数λ.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使PA→＝λPB→成立．(2)对空间任一点O，有OP→＝OA→＋tAB→(t∈R)．(3)对空间任一点O，有OP→＝xOA→＋yOB→(x＋y＝1)．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练2】已知向量e1，e2不共线，a＝3e1＋4e2，b＝－3e1＋8e2，判断a与b是否共线．解设a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(－3e1＋8e2)，∵e1，e2不共线，∴－3λ＝3，8λ＝4无解．∴不存在λ，使a＝λb，即a与b不共线．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练探究3共面向量例3如图所示，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使OEOA＝OFOB＝OGOC＝OHOD＝k，求证：E，F，G，H四点共面．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练[证明]因为OEOA＝OFOB＝OGOC＝OHOD＝k，所以OE→＝kOA→，OF→＝kOB→，OG→＝kOC→，OH→＝kOD→.由于四边形ABCD是平行四边形，所以AC→＝AB→＋AD→，因此EG→＝OG→－OE→＝kOC→－kOA→＝kAC→＝k(AB→＋AD→)＝k(OB→－OA→＋OD→－OA→)＝OF→－OE→＋OH→－OE→＝EF→＋EH→.由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练拓展提升证明向量共面、点共面的常用方法(1)证明空间三个向量共面，常用如下方法①设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则向量a，b，c共面；②寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练(2)对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面①MP→＝xMA→＋yMB→；②对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→；③对空间任一点O，OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x＋y＋z＝1)；④PM→∥AB→(或PA→∥MB→，或PB→∥AM→)．课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练【跟踪训练3】(1)已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由OP→＝15OA→＋23OB→＋λOC→确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.答案215答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析∵点P与A，B，C三点共面，∴15＋23＋λ＝1，解得λ＝215.(2)已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点O满足OM→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.①判断MA→，MB→，MC→三个向量是否共面；②判断点M是否在平面ABC内．解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解①∵OA→＋OB→＋OC→＝3OM→，∴OA→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→)＝BM→＋CM→，即MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→，∴向量MA→，MB→，MC→共面．②由①知向量MA→，MB→，MC→共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1.四点P，A，B，C共面⇔对空间任意一点O，都有OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，且x＋y＋z＝1.2.OP→＝OA→＋xAB→＋yAC→称为空间平面ABC的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练3.证明(或判断)A，B，C三点共线时，只需证明存在实数λ，使AB→＝λBC→(或AB→＝λAC→)即可，也可用“对空间任意一点O，有OC→＝tOA→＋(1－t)OB→”来证明A，B，C三点共线.4.空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP→＝xMA→＋yMB→，满足这个关系式的点都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面.课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练随堂达标自测课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练1．给出下列命题：①a＝“从上海往正北平移9km”，b＝“从北京往正北平移3km”，那么a＝3b；②(a＋b)＋λc＋λ(a＋d)＝b＋(1＋λ)a＋λ(c＋d)；③把正方形ABCD平移向量m到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体叫做正方体；④有直线l，且l∥a，在l上有点B，若AB→＋CA→＝2a，则C∈l.其中正确的命题是()A．①②B．③④C．①②④D．①②③答案C答案课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练解析由向量相等与起点无关易知①正确；由向量的数乘运算满足分配律及向量的加减运算满足交换律和结合律易知②正确；③中轨迹形成的几何体是平行六面体，不一定是正方体，③错误；由AB→＋CA→＝CA→＋AB→＝CB→＝2a知CB→与l直线平行，又B在l上，所以C∈l，故④正确．故选C.解析课前自主预习课堂互动探究随堂达标自测课后课时精练2．已知向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D答案A解析由已知可得AB→＝a＋2b，BD→＝BC→＋CD→＝2a＋4b，所以BD→＝2AB→，即BD→，AB→是共线向量，所以A，B，D三点共线．答案解析课前自主