2019-2020学年高中数学 第三章 函数的应用章末归纳整合课件 新人教A版必修1

章末归纳整合数与形是数学中两个最古老的，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下相互转化，借助背景图形的性质可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论.数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法，因此它在中学数学中占有重要地位.本章对于数形结合思想的应用主要体现在：一是读图识图，二是利用图象研究函数与方程问题.数形结合思想【例1】向高为H的水瓶中注水，若注满为止，注水量V与水深h的函数关系图象如图所示，那么水瓶的形状是()【分析】解决这道函数应用题，不可能列出V与h的精确解析式，需要对图形整体把握，取特殊情况加以分析，或通过观察已知图象的特征，取模型函数判断.【解析】方法一：很明显，从V与h的函数图象看，h从0开始后，V先增加较快，后增加较慢，因而应是底大口小的容器，即应选B．方法二：取特殊值h＝H2，此时注水量大于水瓶总容量的一半，可以看出C，D图中的水瓶的注水量恰好是总容量的一半，A图中的水瓶的注水量小于总容量的一半，不符合题意，排除A，C，D，应选B．【点评】该题是一道综合性较强的题目，意在考查学生整体观察、直觉思维、取特殊值验证等多方面的能力.根据方法一、方法二的分析，亦可画出A，C，D三个图形中的水瓶的容量V与高度h的函数关系曲线的草图分别如下图所示.1.已知a是函数f(x)＝2x－log12x的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足()A．f(x0)＝0B．f(x0)＞0C．f(x0)＜0D．f(x0)的符号不确定【答案】C【解析】如图所示，是y＝2x与y＝log12x的图象，显然两个图象的交点的横坐标为a，于是在区间(0，a)内，y＝2x的图象在y＝log12x的图象的下方，从而2x0＜log12x0，即f(x0)＝2x0－log12x0＜0.现实世界丰富多彩，同一问题存在各种不同的方面，那么就需要对同一问题的不同方面分类分别研究，函数中常常涉及关于参数的问题，有的参数在不同的取值范围内的值会引起函数性质的不同变化，如对数函数、指数函数的底数、二次函数的二次项系数等.分类讨论思想【例2】试讨论函数f(x)＝x2－2|x|－1－a(a∈R)的零点的个数.【分析】函数f(x)的零点的个数即为方程x2－2|x|－1－a＝0的根的个数.【解析】令f(x)＝0，即x2－2|x|－1＝A．令g(x)＝x2－2|x|－1，h(x)＝a，则问题转化为求函数g(x)与h(x)图象交点的个数.g(x)＝x2－2x－1，x≥0，x2＋2x－1，x0，作出函数g(x)的图象，如图所示.当a在R上取值时，函数h(x)的图象是一系列垂直于y轴的直线.①当a－2时，g(x)的图象与直线h(x)无交点，方程x2－2|x|－1＝a无实根，即函数f(x)无零点；②当a＝－2或a－1时，g(x)的图象与直线h(x)有两个交点，即函数f(x)有两个零点；③当－2a－1时，函数g(x)的图象与直线h(x)有四个交点，即函数f(x)有四个零点；④当a＝－1时，函数g(x)的图象与直线h(x)有三个交点，即函数f(x)有三个零点.综上所述，当a－2时，函数f(x)无零点；当a＝－2或a－1时，函数f(x)有两个零点；当－2a－1时，函数f(x)有四个零点；当a＝－1时，函数f(x)有三个零点.【点评】分类讨论的一般步骤：(1)明确讨论对象，确定讨论范围；(2)确定分类标准，进行合理分类；(3)逐类讨论，获得阶段性成果；(4)归纳总结，得到结论.2.若loga341(a0且a≠1)，则实数a的取值范围是()A．0，34B．0，34∪(1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0,1)【答案】B【解析】当a1时，loga3401，成立.当0a1时，y＝logax为减函数.由loga341＝logaa，得0a34.综上所述，0＜a＜34或a1.转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程；化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题.在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的.转化与划归思想【例3】当a为何值时，函数y＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2的一个零点在区间(0,1)内，另一个零点在区间(1,2)内？【分析】将问题转化为方程的两根分别在(0,1)和(1,2)内，建立关于a的不等关系求解.【解析】已知函数对应的方程为7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0，函数的大致图象如图所示.根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在(0,1)内，另一个在(1,2)内，则f0＞0，f1＜0，f2＞0，即a2－a－2＞0，a2－2a－8＜0，a2－3a＞0，解得a＜－1或a＞2，－2＜a＜4，a＜0或a＞3，∴－2＜a＜－1或3＜a＜4.3.已知关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，试问当a为何值时，方程的两根都大于1.【解析】设方程的两根为x1，x2，方程的两根都大于1，则x1－1＞0，x2－1＞0，故x1－1x2－1＞0，x1－1＋x2－1＞0⇒x1x2－x1＋x2＋1＞0，x1＋x2＞2⇒a－1a－2a＋1a＋1＞0，2a＋1a＞2⇒a＜0，a＞0，矛盾.故不论a为何值，方程的两根不可能都大于1.从近几年的高考情况来看，本章高考呈现以下特点：1．函数的零点与方程的解、函数的图象等问题密切相关，高考对本部分的考查主要有以下四个方面：(1)函数零点所在的区间；(2)函数零点个数的判断；(3)函数零点近似值的求解；(4)由函数零点所在的范围或零点的个数求解参数的取值范围等．此类问题往往以选择题填空题的形式出现．2．函数模型的应用主要考查以下三种类型：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．题型以解答题的形式为主，难度以中等难度为主，考查学生分析问题、解决问题的能力．1．(2018年新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x0，g(x)＝f(x)＋x＋a．若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1,0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)【答案】C【解析】令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1．当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C．2．(2017年山东)已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝x＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()A．(0,1]∪[23，＋∞)B．(0,1]∪[3，＋∞)C．(0，2]∪[23，＋∞)D．(0，2]∪[3，＋∞)【答案】B【解析】在同一直角坐标系中分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m2x－1m2与g(x)＝x＋m的大致图象．分两种情形：①当0m≤1时，1m≥1，如图①，当x∈[0,1]时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意；②当m1时，01m1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．综上，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．3．(2016年四川)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年【答案】B【解析】依题意，2015年投入130万元，2016年投入130(1＋12%)，2017年投入130(1＋12%)2，…，令130(1＋12%)x＞200，解得x＞lg2013lg1.12，则x＞lg2－lg1.3lg1.12．又lg1．12≈0．05，lg1．3≈0．11，lg2≈0．30，∴x＞0.30－0.110.05＝3．8≈4，∴研发资金开始超过200万元的年份应为2019年．4．(2018年天津)已知a0，函数f(x)＝x2＋2ax＋a，x≤0，－x2＋2ax－2a，x0.若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是________．【答案】(4,8)【解析】作出函数f(x)的图象如图．l1是过原点且与抛物线y＝－x2＋2ax－2a相切的直线，l2是过原点且与抛物线y＝x2＋2ax＋a相切的直线．由图可知，当直线y＝ax在l1，l2之间(不含直线l1，l2)变动时，符合题意．由y＝ax，y＝－x2＋2ax－2a，消去y，整理得x2－ax＋2a＝0．由Δ＝0，得a＝8(a＝0舍去)．由y＝ax，y＝x2＋2ax＋a，消去y，整理得x2＋ax＋a＝0．由Δ＝0，得a＝4(a＝0舍去)．综上，得4a8．5．(2018年上海)某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%(0＜x＜100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f(x)＝30，0＜x≤30，2x＋1800x－90，30＜x＜100(单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性，并说明其实际意义．【解析】(1)当30＜x＜100时，f(x)＝2x＋1800x－90＞40，即x2－65x＋900＞0，解得x＜20或x＞45．∴x∈(45,100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间．(2)当0＜x≤30时，g(x)＝30·x%＋40(1－x%)＝40－x10．当30＜x＜100时，g(x)＝2x＋1800x－90·x%＋40(1－x%)＝150x2－1310x＋58．∴g(x)＝40－x10，0x≤30，150x2－1310x＋58，30x100.当0＜x＜32．5时，g(x)单调递减；当32．5＜x＜100时，g(x)单调递增．说明该地上班族S中有小于32．5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32．5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；∴当S中自驾人数占32．5%时，人均通勤时间最少．