2019-2020学年高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点 第24课时 方

第三章函数的应用3．1函数与方程3．1.1方程的根与函数的零点第24课时方程的根与函数的零点题点知识巩固掌握几个要点提能达标过关掌握几个要点1．理解4点说明——对函数零点判断的说明(1)存在性：“若f(a)·f(b)0，则在区间(a，b)内方程f(x)＝0至少有一个实数根”指出方程f(x)＝0的实数根的存在性．(2)唯一性：若f(a)·f(b)0，且y＝f(x)在(a，b)内是单调函数，则方程f(x)＝0在(a，b)内有唯一实数解．(3)两个条件：①在[a，b]上函数图象连续不断；②端点函数值异号即f(a)·f(b)0，缺一不可．(4)不可逆性：对函数零点的判断方法，反过来不成立，即f(x)在(a，b)内存在零点，不一定有图象连续不断，也不一定有f(a)·f(b)0.2．掌握3种方法——判断函数零点个数的方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．3．掌握3个步骤——判断函数零点所在区间的步骤题点知识巩固1．函数y＝4x－2的零点是()A．2B．(－2,0)C．12，0D．12解析：选D令y＝4x－2＝0，得x＝12.∴函数y＝4x－2的零点为12.故选D．2．下列图象表示的函数中没有零点的是()解析：选A因为B，C，D项函数的图象均与x轴有交点，所以函数均有零点，A项的图象与x轴没有交点，故函数没有零点，故选A．3．已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．解析：由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2,3，∴2＋3＝a，2×3＝－b，即a＝5，b＝－6，∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的根为－12，－13，即为函数g(x)的零点．答案：－12，－134．已知x0是函数f(x)＝lnx－12x－2的零点，则x0所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：选Cf(x)＝lnx－12x－2在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝－20，f(2)＝ln2－10，f(3)＝ln3－120，∴x0∈(2,3)，故选C．5．方程2x＝2－x的根所在区间是()A．(－1,0)B．(2,3)C．(1,2)D．(0,1)解析：选D令f(x)＝2x－2＋x.∵f(x)在R上是增函数，且f(0)＝－10，f(1)＝10.∴f(x)的零点在(0,1)内，即方程2x＝2－x的根在(0,1)内．故选D．6．方程x3－x－1＝0在[1,1.5]上实数解有()A．3个B．2个C．至少一个D．0个解析：选C令f(x)＝x3－x－1，则f(1)＝－10，f(1.5)＝1.53－1.5－1＝1.53－2.50，故选C．7．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)0，则()A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实根D．方程f(x)＝0可能无实数解解析：选D∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上未必有实数解．故选D．8．求函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．解：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.令y1＝log2x，y2＝x－2.画出两个函数的大致图象，如图所示．由图可知，两个函数有两个不同的交点．所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．9．(2019·泰安高一检测)已知函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是________．解析：∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)的一个零点在区间(1,2)内，∴f1＝21－2－a0，f2＝22－1－a0，解得0a3.答案：(0,3)10．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]．(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？解：(1)依题意，f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，其图象如图所示．由图可知，函数f(x)的值域为[－4，5]．(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点．∴方程f(x)＝－m在x∈[－1,4]上有两相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点．由(1)所作图象可知，－4－m≤0，∴0≤m4.∴当0≤m4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，即当0≤m4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．