2019-2020学年高中数学 第三章 概率 2 古典概型 2.1 古典概型的特征和概率计算公式课件

第三章概率§2古典概型2．1古典概型的特征和概率计算公式自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．理解古典概型的两个特征，会判断古典概型．2．掌握古典概型的概率计算公式，会解决有关的实际问题.1．古典概型如果一个试验具有如下两个特征：(1)试验的所有可能结果只有________，每次试验只出现其中的一个结果；(2)每一个试验结果出现的可能性______．我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型．有限个相同练一练：(1)下列随机试验的数学模型属于古典概型的是()A．在适宜条件下，种一粒种子，它可能发芽，也可能不发芽B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个点C．某射手射击一次，可能命中0环、1环、2环、…、10环D．四位同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会答案：D2．古典概型的概率计算公式对于古典概型，如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为P(A)＝________________________________＝mn.事件A包含的可能结果数试验的所有可能结果数练一练：(2)从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为()A．12B．13C．23D．1解析：选出2人的基本事件为：(甲、乙)，(甲、丙)，(乙，丙)，故甲被选中的概率为23.答案：C3．在古典概型中，计算事件A的概率，关键是计算试验的____________________________和事件A_____________________________.所有可能结果(基本事件)数n包含的可能结果(基本事件)数m练一练：(3)先后抛掷两枚质地均匀的硬币．①一共可以出现多少种不同的结果？②出现“一枚正面，一枚反面”的结果有多少种？③出现“一枚正面，一枚反面”的概率是多少？④有人说：“一共可能出现‘二枚正面’，‘二枚反面’，‘一枚正面，一枚反面’三种结果，因此出现‘一枚正面，一枚反面’的概率为13”，这种说法对不对？解：①(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)四种不同结果．②(正，反)，(反，正)两种结果．③P＝24＝12.④不对．1．怎样理解基本事件？一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件．一次试验中只能出现一个基本事件，任何事件都可以表示成基本事件的和．2．要写出所有的基本事件，可通过哪些方法实现？要写出所有基本事件可采用的方法较多，例如列表法、坐标系法、树状图法，但不论采用哪种方法，都要求按一定的顺序进行，以做到不重不漏．3．计算古典概型的一般步骤是什么？(1)判断试验是否为古典概型；(2)算出基本事件的总数n；(3)算出事件A包含的基本事件数m；(4)算出事件A的概率：P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数＝mn.典例精析规律总结课堂互动探究一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球．(1)共有多少个基本事件？(2)两只都是白球包含几个基本事件？【解】(1)解法一：采用列举法分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，有以下基本事件：(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)，共10个(其中(1,2)表示摸到1号，2号球)．解法二：采用列表法设5只球的编号为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：abcdea(a，b)(a，c)(a，d)(a，e)b(b，a)(b，c)(b，d)(b，e)c(c，a)(c，b)(c，d)(c，e)d(d，a)(d，b)(d，c)(d，e)e(e，a)(e，b)(e，c)(e，d)由于每次取两个球，每次所取两个球不相同，而摸(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本事件．(2)解法一中“两只都是白球”包括(1,2)(1,3)(2,3)，三种．解法二中，包括(a，b)，(b，c)，(a，c)，三种．【规律总结】求基本事件个数常用列表法，列举法、树状图法来解决．列表法时注意顺序问题；列举法注意不重不漏；树状图法若是有顺序问题，只需做一个树状图然后乘以元素个数即可．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为()A．6B．4C．3D．2解析：依题意所有基本事件有1和2,1和4,2和3,3和4，共4种．答案：B袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作是一个基本事件，该模型是不是古典概型？(2)若把球的颜色作为基本事件，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？【解】(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号．故共有11种不同的摸法，又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5个，故一次摸球摸中白球的可能性为511，同理可知摸中黑球、红球的可能性均为311，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，所以以颜色为基本事件的概率模型不是古典概型．【规律总结】判断一个试验是否为古典概型，关键是看该试验是否具有以下两个特征：(1)有限性，即试验的所有可能结果只有有限个，且每次试验只出现其中的一个结果；(2)等可能性，即每一个试验结果出现的可能性相同．下列概率模型中，是古典概型的是()A．在区间[0,1]内任取一个数，取到0.5的概率B．从1,2,3,4,5,6中任取一个数，取到1的概率C．抛掷一枚质地不均匀的硬币，求正面向上的概率D．在正方形ABCD内任意取一点P，求点P恰好与A点重合的概率解析：由于A、D中试验中所有可能出现的基本事件是无限的，故A、D不正确；又由于C中的硬币质地不均匀，故每个基本事件出现的可能性不相等，故C不正确；B符合古典概型的特点．答案：B袋中装有6个形状完全相同的小球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)A：取出的两球都是白球；(2)B：取出的两球中一个是白球，另一个是红球．【解】设4个白球的编号为1,2,3,4；2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．(1)从袋中的6个球中任取两球，所取的两球全是白球的取法总数，即是从4个白球中任取两球的取法总数，共有6种，为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．∴取出的两个球全是白球的概率为P(A)＝615＝25.(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．∴取出的两个球一个是白球，一个是红球的概率为P(B)＝815.【规律总结】1.利用古典概型的概率公式P(A)＝mn计算概率时，关键要搞清两点：(1)事件A是什么，它包含的基本事件有哪些；(2)所有可能出现的结果(基本事件数)是多少．2．对一些情景较为简单、基本事件个数不是太多的概率问题，计数时只需要列举法即可计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，但应特别注意：计算时要严防遗漏，绝不重复．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个大小相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．(1)求中三等奖的概率；(2)求中奖的概率．解：设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，从四个小球中有放回地取两个有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共16种不同的结果．(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，共7种结果，则中三等奖的概率为P(A)＝716.(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)；两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3,3)，则中奖的概率为P(B)＝7＋2＋116＝58.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题6道，填空题4道，甲、乙两人各抽取1道题．求甲抽到选择题，乙抽到填空题的概率．【错解】甲抽到选择题，乙抽到填空题的可能结果有6×4＝24个，又甲、乙两人依次抽取1道题的可能结果有10×92＝45个，∴所求概率为2445＝815.【错因分析】上述解法把甲、乙两人依次抽取1道题理解为甲、乙同时抽取1道题．【正解】甲抽到选择题，乙抽到填空题的可能结果有6×4＝24个，又甲、乙两人依次抽取1道题的可能结果有10×9＝90个，所以甲抽到选择题，乙抽到填空题的概率为P＝2490＝415.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一古典概型的判断1．下面是古典概型的是()A．任意抛掷两粒骰子，所得的点数之和作为基本事件B．为求任取一个正整数，该正整数平方值的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件C．从甲地到乙地共有n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止解析：对于A，所得点数之和为基本事件，个数虽有限但不是等可能发生的；对于B、D，基本事件的个数都是无限的；只有C是古典概型．答案：C2．下列是古典概型的是()①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．A．①②③④B．①②④C．②③④D．①③④解析：古典概型的两个特征：(1)试验的所有结果是有限个；(2)每个结果出现的可能性相同，由此可判断，①②④是古典概型．答案：B知识点二古典概型的计算3．如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为()A．25B．710C．45D．910解析：设被污损的数字为x，若甲、乙两人的平均成绩相等，则有88＋89＋90＋91＋92＝83＋83＋87＋90＋x＋99，∴x＝8，要使甲的平均成绩超过乙的平均成绩，则x可取0,1,2,3,4,5,6,7中的任一个，∴所求的概率为810＝45.答案：C4．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为________．解析：从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字，可构成12个不同的两位数：12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，其中大于30的有：31,32,34,41,42,43，共6个，所以所得不同的两位数大于30的概率为P＝612＝12.答案：125．先后抛掷均匀的壹分、贰分、伍分硬币各一次．(1)一共可能出现多少种结果？(2)出现“2枚正面朝上，1枚反面朝上”的结果有多少种？(3)出现“2枚正面朝上，1枚反面朝上”的概率是多少？解：(1)先后抛掷壹分，贰分，伍分硬币时，可能出现的结果共有8种．即(正，正，正)，(正，正，反)(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．(2)用A表示事件“2枚正面朝上，1枚后面朝上”，所有