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1、[自主梳理]函数的最大值与最小值1.函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值点x0指的是:函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0).2.最大值或者在__________取得,或者在________取得.极大值点区间的端点3.要想求函数的最大值,应首先求出函数的极大值点,然后将所有极大值点与区间端点的函数值进行比较,其中________即为函数的最大值.4.函数的最小值点也具有类似的意义和求法.函数的________和________统称为最值.最大的值最小值最大值[双基自测]1.函数f(x)=2x-cosx在(-∞,+∞)上()A.是增函数,无最值B.是减函数,无最值C.有最大值D.有最小值解析:f′(x)=2+sinx0,∴f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.答案:A2.将8分为两数之和,使其立方之和为最小,则分法为()A.2和6B.4和4C.3和5D.以上都不对解析:设其中一个数为x,则另一个数为8-x,y=x3+(8-x)3,0≤x≤8,y′=3x2-3(8-x)2,令y′=0,即3x2-3(8-x)2=0,得x=4.当0≤x≤4时,y′<0;当4<x≤8时,y′>0。
2、.所以当x=4时,y最小.答案:B3.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,当所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为()A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm解析:设截去的小正方形的边长为xcm,铁盒的容积为Vcm3,由题意,得V=x(48-2x)2(0<x<24),V′=12(24-x)(8-x).令V′=0,则在(0,24)内有解x=8,故当x=8时,V有最大值.答案:B4.若函数f(x)在[a,b]上满足f′(x)0,则f(a)是函数的最________值,f(b)是函数的最________值.解析:f′(x)0,所以f(x)在[a,b]上是增加的,f(b)为最大值,f(a)为最小值.大小探究一求函数的最值[例1]求下列函数在给定区间上的最值:(1)f(x)=2x3-3x2-12x+5,x∈[-2,3];(2)f(x)=sin2x+x,x∈[-π2,π2].[解析](1)f′(x)=6x2-6x-12,令f′(x)=0,则6x2-6x-12=0,即x2-x-2=0,解得x1=-1,x。
3、2=2.∵f(-1)=12,f(2)=-15,f(-2)=1,f(3)=-4,∴函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在x∈[-2,3]上的最大值为12,最小值为-15.(2)f′(x)=2cos2x+1,令f′(x)=0,又x∈[-π2,π2],得x=π3或x=-π3.∵f(π3)=32+π3,f(-π3)=-32-π3,又f(π2)=π2,f(-π2)=-π2,∴f(x)max=32+π3,f(x)min=-32-π3.求函数在闭区间上的最值时,一般是先找出该区间上使导数为零的点,无需判断出是极大值还是极小值,只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值比较,其中最大的是最大值,最小的是最小值.1.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)求f(x)在区间[-34,14]上的最大值和最小值.所以f(x)在区间(-32,-1),(-12,+∞)上是增加的,在区间(-1,-12)上是减少的.解析:f(x)的定义域为(-32,+∞).(1)f′(x)=22x+3+2x=4x2+6x+22x+3=22x+1x+12x+3.当-32x-1时,f′(x)0。
4、;当-1x-12时,f′(x)0;当x-12时,f′(x)0.(2)由(1)知f(x)在区间[-34,14]上的最小值为f(-12)=ln2+14.又因为f(-34)-f(14)=ln32+916-ln72-116=ln37+12=12(1-ln499)0,所以f(x)在区间[-34,14]上的最大值为f(14)=116+ln72.探究二求含参数的函数的最值[例2]已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a).(1)若f′(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.[解析](1)f′(x)=3x2-2ax,因为f′(1)=3-2a=3,所以a=0.又当a=0时,f(1)=1,f′(1)=3,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为3x-y-2=0.(2)令f′(x)=0,解得x1=0,x2=2a3.当2a3≤0,即a≤0时,f(x)在[0,2]上是增加的,从而f(x)max=f(2)=8-4a;当2a3≥2,即a≥3时,f(x)在[0,2]上是减少的,从而f(x)max=f(0)=0;当02a32,即0a。
5、3时,f(x)在[0,2a3]上是减少的,在[2a3,2]上是增加的,从而f(x)max=8-4a,0a≤2,0,2a3.综上所述,f(x)max=8-4a,a≤2,0,a2.含参数时,应分类讨论,应分清讨论的原因,如本题要比较两根在不在区间[0,2)内或根之间要分出大小.2.已知函数f(x)=(x-k)ex.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.解析:(1)f′(x)=(x-k+1)ex.令f′(x)=0,得x=k-1.x变化时,f(x)与f′(x)的变化情况如下:x(-∞,k-1)k-1(k-1,+∞)f′(x)-0+f(x)-ek-1所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞).(2)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在[0,1]上是增加的,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;当0<k-1<1,即1<k<2时,由(1)知f(x)在[0,k-1]上是减少的,在(k-1,1]上是增加的,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-ek-1;当k-1≥1,即k≥2。
6、时,函数f(x)在[0,1]上是减少的.所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.探究三生活中的优化问题[例3]某种商品每件的成本为9元,当售价为30元时,每星期可卖出432件.如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位:元,0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时,每星期可多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数;(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?[解析](1)设商品降价x元,则多卖的商品数为kx2,若记商品在一个星期里的获利为f(x),则有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2),又由已知条件,24=k×22,于是有k=6.所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,21].(2)根据(1),f′(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).令f′(x)=0,即-18(x-2)(x-12)=0,得x1=2,x2=12.当x变化时,f′(x),f(x)如下表:因为f(0)=9072<f(12)=11664。
7、,所以x=12时,f(x)取得最大值;即当定价为30-12=18元时,能使一个星期的商品销售利润最大.x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f′(x)-0+0-f(x)9072极小值极大值0利用导数解决优化问题的一般步骤(1)抽象出实际问题的数学模型,列出函数关系式y=f(x);(2)求函数f(x)的导数f′(x),并解方程f′(x)=0,即求函数可能的极值点;(3)比较函数f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小,得出函数f(x)的最大值或最小值;(4)根据实际问题的意义给出答案.3.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=ax-3+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解析:(1)因为x=5时,y=11,所以a2+10=11,所以a=2.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y=2x-3+10(x-6)2,所以商场每日销售该。
8、商品所获得的利润f(x)=(x-3)[2x-3+10(x-6)2]=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6.从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6).于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(3,4)4(4,6)f′(x)+0-f(x)极大值42由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.导数在解决实际问题中的应用[例4](本题满分12分)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12-x)2万件.(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式;(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a).[解析](1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为:L=(x-3-a)(12-x)2,x∈[。
9、9,11].……………………………………2分(2)L′=(12-x)(18+2a-3x),令L′=0,得x=6+23a或x=12(不合题意,舍去).因为3≤a≤5,所以8≤6+23a≤283.在x=6+23a两侧,由左向右L′的值由正变负,…………………………………………………4分所以当8≤6+23a<9,即3≤a<92时,Lmax=L(9)=9(6-a),当9≤6+23a≤283,即92≤a≤5时,Lmax=L6+23a=43-13a3.……………………………………………………9分Q(a)=96-a,3≤a<92,43-13a3,92≤a≤5.…………………………………………………10分即若3≤a<92时,则当每件售价为9元时,分公司一年的利润L最大,最大值Q(a)=9(6-a)(万元);若92≤a≤5时,则当每件售价为6+23a元时,分公司一年的利润L最大,最大值Q(a)=43-13a3(万元).……………………………………12分[规范与警示]L′=0的点求解要正确,关键点.分类讨论要准确,易错点.正确确定函。
10、数取得最大值的点,可结合图像单调性求解.在解含有参数的问题时,一定要注意分类讨论,解决此类实际应用题时,要注意解答过程的规范性,对于分类讨论得到的结果,如本例最大利润的结果表达式,要写成分段的形式,最后一定要进行总结.。
本文标题:2019-2020学年高中数学 第三章 导数应用 2 导数在实际问题中的应用 2.2 最大值、最小值
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