2019-2020学年高中数学 第三章 导数应用 1 函数的单调性与极值 1.2 函数的极值课件 北

[自主梳理]一、函数的极值的有关概念1．在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的________，其函数值f(x0)为函数的________．在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的________，其函数值f(x0)为函数的________．极大值与极小值统称为________，极大值点与极小值点统称为________．极大值点极大值极小值点极小值极值极值点2．结论：如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则________是极大值点，________是极大值．如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则________是极小值点，________是极小值．x0f(x0)x0f(x0)二、求函数y＝f(x)的极值点的步骤1．求出导数f′(x)．2．解方程f′(x)＝0.3．对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：(1)若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为________；(2)若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为________；(3)若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0________.极大值点极小值点不是极值点[双基自测]1．关于函数的极值，下列说法正确的是()A．导数为零的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值和一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数解析：导数为零的点不一定是极值点，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．极小值不一定小于极大值．f(x)在定义域内可能有多个极值点．答案：D2．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是()A．2B．1C．0D．由a确定解析：∵f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立，∴函数f(x)在R上单调递增，无极值点．答案：C3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，若函数f(x)有极大值和极小值，则f′(x)有两个零点，令f′(x)＝0，则Δ＝(2a)2－4×3(a＋6)＞0，解得a＜－3或a＞6.{a|a＜－3或a＞6}探究一求函数的极值[例1]求下列函数的极值：(1)f(x)＝x4－4x3＋5；(2)f(x)＝lnxx.[解析](1)因为f(x)＝x4－4x3＋5，所以f′(x)＝4x3－12x2＝4x2(x－3)．令f′(x)＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：故当x＝3时函数取得极小值，且f(3)＝－22.x(－∞，0)0(0,3)3(3，＋∞)f′(x)－0－0＋f(x)不是极值极小值(2)函数f(x)＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1－lnxx2.令f′(x)＝1－lnxx2＝0，得x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)极大值故当x＝e时函数取得极大值，且f(e)＝1e.求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其重点是列表考查导数为零的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则有极值；否则，没有极值．例如本例(1)中虽有f′(0)＝0，但由于其两侧的导数值的符号相同，所以x＝0不是函数的极值点．另外，在求函数的极值前，一定要首先研究函数的定义域，在定义域的前提下研究极值．1．求下列函数的极值：(1)y＝x2－7x＋6；(2)y＝x3－27x.解析：(1)y′＝2x－7，令y′＝0，得x＝72.当x变化时，y′，y的变化情况见下表：x(－∞，72)72(72，＋∞)y′－0＋y－254∴当x＝72时，y有极小值，且y极小值＝－254.(2)y′＝3x2－27，令y′＝0，得x＝－3或x＝3.当x变化时，y′，y的变化情况见下表：x(－∞，－3)－3(－3,3)3(3，＋∞)y′＋0－0＋y54－54∴当x＝－3时，y有极大值，且y极大值＝54；当x＝3时，y有极小值，且y极小值＝－54.探究二已知函数极值求参数的值[例2]已知函数f(x)＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.(1)求a，b的值；(2)求函数y＝f(x)的极小值．[解析](1)∵当x＝1时，函数有极大值3，f′(x)＝3ax2＋2bx，∴f′1＝0f1＝3.∴3a＋2b＝0，a＋b＝3.解得a＝－6，b＝9.(2)f′(x)＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)．当f′(x)＝0时，x＝0或x＝1.当f′(x)＞0时，0＜x＜1；当f′(x)＜0时，x＜0或x＞1.∴函数f(x)＝－6x3＋9x2的极小值为f(0)＝0.解决这类问题的方法是根据求函数极值的步骤，利用极值点与导数的关系，建立字母系数的方程，通过解方程或方程组确定字母系数，从而解决问题．2．已知函数f(x)＝ae2x－be－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.(1)确定a，b的值；(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．解析：(1)对f(x)求导得f′(x)＝2ae2x＋2be－2x－c，由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)，即2(a－b)(e2x－e－2x)＝0，所以a＝b.又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.(2)当c＝3时，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥22e2x·2e－2x－3＝1＞0，故f(x)在R上为增函数．(3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，而2e2x＋2e－2x≥22e2x·2e－2x＝4，当x＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c＜4时，对任意x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c＞0，此时f(x)无极值；当c＝4时，对任意x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－4＞0，此时f(x)无极值；当c＞4时，令e2x＝t，注意到方程2t＋2t－c＝0有两根t1,2＝c±c2－164＞0，即f′(x)＝0有两个根x1＝12lnt1或x2＝12lnt2.当x1＜x＜x2时f′(x)＜0；又当x＞x2时，f′(x)＞0，从而f(x)在x＝x2处取得极小值．综上，若f(x)有极值，则c的取值范围为(4，＋∞)．探究三极值的综合问题[例3]设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.(1)求f(x)的单调区间；(2)讨论f(x)的极值．[解析]由已知得f′(x)＝6x[x－(a－1)]，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a－1.(1)当a＝1时，f′(x)＝6x2≥0，故f(x)在(－∞，＋∞)上是增加的．当a1时，f′(x)＝6x[x－(a－1)]．f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，a－1)a－1(a－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值从上表可知函数f(x)在(－∞，0)上是增加的，在(0，a－1)上是减少的，在(a－1，＋∞)上是增加的．(2)由(1)知，当a＝1时，函数f(x)没有极值．当a1时，函数f(x)在x＝0处取得极大值1，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3.极值问题的综合应用主要是利用函数的单调性和极值确定函数图像的大致形状和位置．题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想、数形结合思想在解题中的应用，熟练掌握单调性问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．3．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．解析：(1)∵f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2，∴当x－2或x2时，f′(x)0，当－2x2时，f′(x)0.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；f(x)的单调递减区间为(－2，2)．当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－42.(2)由(1)得函数y＝f(x)的图像大致形状如图所示，当5－42a5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图像有三个不同交点，即方程f(x)＝a有三个不同的解．(3)f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)．∵x1，∴k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝x2＋x－5，g(x)在(1，＋∞)上是增函数，∴g(x)g(1)＝－3.∴k的取值范围是k≤－3.分类讨论思想在求函数极值中的应用[例4]已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图像过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图像关于y轴对称．(1)求m，n的值及函数y＝f(x)的单调区间；(2)若a＞0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．[解析](1)由函数f(x)的图像过点(－1，－6)，得m－n＝－3.①由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得f′(x)＝3x2＋2mx＋n，所以g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.因为g(x)的图像关于y轴对称，所以－2m＋62×3＝0，所以m＝－3，代入①得n＝0，所以f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．由f′(x)＞0，得x＞2或x＜0，所以f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)；由f′(x)＜0，得0＜x＜2，所以f(x)的递减区间是(0,2)．(2)由(1)得f(x)＝x3－3x2－2，f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值由此可得：当0＜a＜1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；当1＜a＜3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上可得，当0＜a＜1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1＜a＜3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．[感悟提高]在求函数极值时，若极值点与区间的关系不能确定，应分类讨论极值点是否在区间内，从而确定极值情况，如本题第(2)小题中区间(a－1，a＋1)就不确定，因此先求函数f(x)在R上的极值，再根据区间(a－1，a＋1)内是否含有极值点讨论a的值，确定区间(a－1，a＋1)的极值情况．