2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.3 导数的几何意义课件 新人教A版选修

第三章导数及其应用3．1.3导数的几何意义第三章导数及其应用考点学习目标核心素养导数的几何意义理解曲线的切线的概念，理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义数学抽象、数学运算、直观想象导函数的概念了解导函数的概念，了解导数与割线斜率之间的关系数学抽象、直观想象问题导学预习教材P76～P79，并思考下列问题：1．导数的几何意义是什么？2．导函数的概念是什么？怎样求导函数？3．怎么求过一点的曲线的切线方程？1．导数的几何意义(1)几何意义：是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．(2)切线方程：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导函数的定义对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝____________________________．limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx■名师点拨“函数y＝f(x)在x＝x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系“函数y＝f(x)在x＝x0处的导数”是一个数值，是针对x0而言的，与给定的函数及x0的位置有关，而与Δx无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x，Δx无关．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．()(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．()(3)f′(x0)f(x0)．()(4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．()(5)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()×××√×曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则()A．f′(x0)0B．f′(x0)0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在解析：选A．因为曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数就是切线的斜率，又切线2x－y＋1＝0的斜率为2，所以f′(x0)0.已知曲线f(x)＝2x2上一点A(2，8)，则点A处的切线斜率为()A．4B．16C．8D．2答案：C若函数f(x)在点A(1，2)处的导数是－1，那么曲线y＝f(x)在点A处的切线方程是________．答案：x＋y－3＝0已知y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则ba＝________．答案：2求过曲线上一点的切线方程如图，已知曲线y＝13x3上一点P2，83.求：(1)点P处的切线的斜率；(2)点P处的切线方程．【解】(1)因为y＝f(x)＝13x3，所以当x0＝2时，y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→013（2＋Δx）3－13×23Δx＝13limΔx→03×22Δx＋3×2（Δx）2＋（Δx）3Δx＝13limΔx→0[3×22＋3×2Δx＋(Δx)2]＝22＝4.所以f′(2)＝4，即点P处的切线的斜率为4.(2)在点P处的切线方程是y－83＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.求曲线上某点处切线方程的步骤求曲线f(x)＝x2＋1在点P(1，2)处的切线的斜率，以及切线方程．解：显然点P(1，2)在曲线上，根据导数的几何意义，可知切线的斜率k＝limΔx→0f（1＋Δx）－f（1）Δx＝limΔx→0（1＋Δx）2＋1－（12＋1）Δx＝limΔx→0（Δx）2＋2ΔxΔx＝limΔx→0(Δx＋2)＝2.所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.求过曲线外一点的切线方程求过点(－1，0)且与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．【解】由题意，知y′＝limΔx→0（x＋Δx）2＋（x＋Δx）＋1－（x2＋x＋1）Δx＝2x＋1，因为点(－1，0)不在曲线上，所以设切点坐标为(x0，y0)，则切线斜率k＝2x0＋1＝y0x0＋1①.因为y0＝x20＋x0＋1②，联立①②得，x0＝0或x0＝－2.当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1，0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0，当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1，0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0，故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.求过点P(x，y)的曲线y＝f(x)的切线方程的步骤(1)设切点为Q(x0，y0)．(2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)．(3)利用点Q在曲线上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)．(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．求过点A(2，0)且与曲线y＝1x相切的直线方程．解：易知点(2，0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由y′|x＝x0＝limΔx→01x0＋Δx－1x0Δx＝－1x20，得所求直线方程为y－y0＝－1x20(x－x0)．由点(2，0)在直线上，得x20y0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，故所求直线方程为x＋y－2＝0.求切点坐标已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°；(2)切线平行于直线4x－y－2＝0；(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.【解】设切点坐标为(x0，y0)则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，所以ΔyΔx＝4x0＋2Δx，当Δx→0时，ΔyΔx→4x0，即f′(x0)＝4x0.(1)因为抛物线的切线的倾斜角为45°，所以斜率为tan45°＝1.即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝14，所以切点的坐标为14，98.(2)因为抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，所以k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，所以切点坐标为(1，3)．(3)因为抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，则k·－18＝－1，即k＝8，故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，所以切点坐标为(2，9)．求曲线切点坐标的4个步骤(1)设切点：先设出切点坐标(x0，y0)．(2)求斜率：求切线的斜率f′(x0)．(3)列方程：由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.(4)求切点：因点(x0，y0)在曲线上，将(x0，y0)代入曲线方程求y0，得切点坐标．已知曲线y＝x3＋3x在点P处的切线与直线y＝15x＋3平行，则点P的坐标为()A．(2，14)B．(－2，－14)C．(2，14)或(－2，－14)D．以上都不对解析：选C．设P(x0，y0)，由题意可得y′＝limΔx→0（x0＋Δx）3＋3（x0＋Δx）－x30－3x0Δx＝3x20＋3，又由题意得3x20＋3＝15，所以x0＝±2.当x0＝2时，y0＝23＋6＝14，当x0＝－2时，y0＝(－2)3－6＝－14.所以点P的坐标为(2，14)或(－2，－14)．1．下列说法中正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在x＝x0处没有切线B．若曲线y＝f(x)在x＝x0处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率不存在，则曲线在该点处没有切线解析：选C．切线斜率不存在，但其切线方程可以为x＝x0，所以A，B，D错误．2．设f(x)为可导函数，且满足limΔx→0f（1）－f（1－Δx）Δx＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是()A．1B．－1C．12D．－2解析：选B．因为limΔx→0f（1）－f（1－Δx）Δx＝－1，所以limΔx→0f（1－Δx）－f（1）－Δx＝－1，所以f′(1)＝－1.3．曲线y＝－1x在点12，－2处的切线方程是()A．y＝4xB．y＝4x－4C．y＝4(x＋1)D．y＝2x＋4解析：选B．Δy＝2ΔxΔx＋12，ΔyΔx＝2Δx＋12，limΔx→02Δx＋12＝4，所以切线的斜率为4，所以切线方程为y＝4x－12－2＝4x－4.4．已知曲线y＝12x2＋2x的一条切线的斜率是4，则切点的横坐标为________．解析：Δy＝12(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－12x2－2x＝x·Δx＋12(Δx)2＋2Δx，所以ΔyΔx＝x＋12Δx＋2，所以y′＝limΔx→0ΔyΔx＝x＋2.设切点坐标为(x0，y0)，则y′|x＝x0＝x0＋2.由已知得，x0＋2＝4，所以x0＝2.答案：2本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放