2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 第1节 不等关系与不等式课件 新人教A版必修5

[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P72～P74，回答下列问题：(1)在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b.如果a－b分别是正数、零、负数，那么a，b之间具有怎样的大小关系？提示：a，b之间的大小关系分别为ab，a＝b，ab.(2)如果a，b之间的大小关系分别为ab，a＝b，ab，那么a－b分别是怎样的数？提示：a－b分别是正数、零、负数．2．归纳总结，核心必记(1)比较实数a，b的大小①文字叙述：如果a－b是正数，那么ab；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么ab，反之也成立．②符号表示：a－b0⇔；a－b＝0⇔；a－b0⇔．aba＝bab(2)常用的不等式的基本性质①ab⇔(对称性)；②ab，bc⇒(传递性)；③ab⇒a＋cb＋c(可加性)；④ab，c0⇒acbc；ab，c0⇒acbc；⑤ab，cd⇒a＋cb＋d；⑥ab0，cd0⇒acbd；⑦ab0，n∈N，n≥1⇒anbn；⑧ab0，n∈N，n≥2⇒nanb.baac[问题思考]关于不等式的性质，下列结论中正确的有哪些？(1)ab且cd则a－cb－d.(2)ab则acbc.(3)ab0且cd0则acbd.(4)ab0则anbn.(5)ab则ac2bc2.提示：对于不等式的性质，有可加性但没有作差与作商的性质，(1)中例如53且41时，则5－43－1是错的，故(1)错．(2)中当c≤0时，不成立．(3)中例如53且41，则5431是错的，故(3)错．(4)中对n≤0均不成立，例如a＝3，b＝2，n＝－1，则3－12－1显然错，故(4)错．(5)因为1c20，所以a·1c2b·1c2，故(5)正确．因此正确的结论有(5)．[课前反思]1．如何比较两个实数a，b的大小？；2．不等式的性质有哪些？．[思考1]限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，用不等式如何表示？名师指津：v≤40．[思考2]某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？名师指津：f≥2.5%，p≥2.3%.[思考3]设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则d与|AB|的大小关系如何？名师指津：d≤|AB|．讲一讲1．某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．(链接教材P72－问题3)[尝试解答]设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．由题意得x＋y≤9，10×6x＋6×8y≥360，0≤x≤4，0≤y≤7，x∈N，y∈N，即x＋y≤9，5x＋4y≥30，0≤x≤4，0≤y≤7，x∈N，y∈N.用不等式表示不等关系的方法(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系．(2)找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．用代数式表示相应各量，并用关键词连接．特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到．练一练1．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x元，则销售的总收入为8－x－2.50.1×0.2x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式8－x－2.50.1×0.2x≥20.讲一讲2．比较下列各组中的两个代数式的大小：(1)x2＋3与3x；(2)已知a，b均为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．[尝试解答](1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝x－322＋34≥340，∴x2＋33x.(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，∵a0，b0且a≠b，∴(a－b)20，a＋b0.∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)0，即a3＋b3a2b＋ab2.比较两个实数(或代数式)的大小，通常用作差法，其一般步骤为：(1)作差：对要比较大小的两个式子作差；(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形；(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号；(4)作出结论．上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．练一练2．(1)已知xy0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．解：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵xy0，∴xy0，x－y0.∴－2xy(x－y)0.∴(x2＋y2)(x－y)(x2－y2)(x＋y)．(2)已知ba0，xy0，求证：xx＋a－yy＋b.证明：∵xx＋a－yy＋b＝x（y＋b）－y（x＋a）（x＋a）（y＋b）＝xy＋bx－xy－ay（x＋a）（y＋b）＝bx－ay（x＋a）（y＋b），又ba0，xy0⇒x＋a0，y＋b0，bxay，∴bx－ay（x＋a）（y＋b）0，即xx＋ayy＋b.[讲一讲]3．(1)下列说法正确的序号是________．(链接教材P74－例1)①cacb且c0⇒ab；②ab且cd⇒acbd；③ab0且cd0⇒adbc；④ac2bc2⇒ab；⑤若cab0，则ac－abc－b.(2)若bc－ad≥0，bd0，求证：a＋bb≤c＋dd.[尝试解答](1)①cacbc0⇒1a1b，当a0，b0时，此式成立，推不出ab，∴①错误．②当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立，∴②错误．③ab0cd0⇒adbc0⇒adbc成立．∴③正确．④显然c20，∴两边同乘以c2得ab，∴④正确．⑤∵ab0⇒－a－b0⇒c－ac－b.∵ca，∴c－a0.∴0c－ac－b.两边同乘以1（c－a）（c－b）得1c－a1c－b0.又∵ab0，∴ac－abc－b，∴⑤正确．(2)因为bc－ad≥0，所以bc≥ad，所以bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)，又bd0，两边同除以bd得，a＋bb≤c＋dd.[答案](1)③④⑤利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．练一练3．已知ab0，cd0，e0，求证：ea－ceb－d.证明：∵cd0，∴－c－d0，又∵ab0，∴a＋(－c)b＋(－d)0.即a－cb－d0，∴01a－c1b－d.又∵e0，∴ea－ceb－d.讲一讲4．已知12a60，15b36，求a－b和ab的取值范围．[思路点拨]用a，b的范围表示出a－b，ab即可．[尝试解答]∵15b36，∴－36－b－15，∴12－36a－b60－15，即－24a－b45.又1361b115，∴1236ab6015.∴13ab4.∴a－b的取值范围是(－24，45)，ab的取值范围是13，4.利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，解出待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．练一练4．(1)若1a3，－4b2，那么a－|b|的范围是()A．(－3，3]B．(－3，5)C．(－3，3)D．(1，4)解析：选C∵－4b2，∴0≤|b|4，∴－4－|b|≤0.又∵1a3，∴－3a－|b|3.即a－|b|的范围是(－3，3)．(2)已知－1x＋y4且2x－y3，则z＝2x－3y的取值范围是________．(答案用区间表示)解析：设2x－3y＝a(x＋y)＋b(x－y)，由待定系数法可得a＋b＝2，a－b＝－3解得a＝－12，b＝52，所以z＝－12(x＋y)＋52(x－y)，－2－12（x＋y）12，552（x－y）152.两式相加得z∈(3，8)．答案：(3，8)1．本节课的重点是不等式的性质及两个数(式)的大小比较问题，难点是利用不等式(组)表示不等关系．2．要熟练掌握常见的文字语言与数学语言之间的转换．—————————[课堂归纳·感悟提升]—————————文字语言数学符号文字语言数学符号大于至多≤小于至少≥大于或等于≥不少于≥小于或等于≤不多于≤3.本节课要重点掌握的规律方法(1)比较两个代数式(数)的大小，见讲2.(2)利用不等式的性质求取值范围，见讲4.这也是本节课的易错点．