2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 第2节 一元二次不等式及其解法 第1课时 一元二次不

第1课时一元二次不等式的解法[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P76～P78，回答下列问题：(1)某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5元；公司B的收费标准为：用户上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元，若用户一次上网时间不超过17小时，请问：①假设一次上网x小时(0x≤17，x∈N*)，两公司收取的费用各是多少？提示：公司A收取的费用为1.5x(元)，公司B收取的费用为1.7＋1.6＋…＋[1.7－(x－1)×0.1]＝x{1.7＋[1.7－（x－1）×0.1]}2＝x（35－x）20(元)．②一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A的上网费用小于或等于选择公司B所需费用？提示：选择公司A的上网费用少，即x（35－x）20≥1.5x，整理得x2－5x≤0，只要求得满足x2－5x≤0的解集，就得到了问题的答案．③在②中得到的不等式x2－5x≤0是一个关于x的一元二次不等式，那么一元二次不等式有什么特点？提示：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2.(2)画出二次函数y＝x2－5x的图象，如图所示，思考下列问题：①不等式x2－5x≤0的解集是什么？②不等式x2－5x0的解集是什么？提示：①{x|0≤x≤5}；②{x|x5或x0}．(3)根据上述问题，你认为怎样确定一元二次不等式ax2＋bx＋c0与ax2＋bx＋c0(a0)的解集呢？提示：可以由函数的零点与相应一元二次方程根的关系，先求出一元二次方程的根，再根据函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集．2．归纳总结，核心必记(1)一元二次不等式的概念只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式．一2(2)二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a0)的根x1，x2x0＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx2或xx1}xx≠－b2aRax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|x1xx2}∅∅[问题思考](1)若ax2＋bx＋c≥0，a≠0恒成立(或解集为R)，则a、b、c满足的条件是什么？提示：借助函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，条件为b2－4ac≤0，且a0．(2)一元二次不等式与二次函数有什么关系？提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合．ax2＋bx＋c0(a0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合．[课前反思]1．一元二次不等式的定义是什么；2．二次函数、二次方程、二次不等式之间有什么关系？．[思考1]当a0时，若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根α，β且αβ，则不等式ax2＋bx＋c0的解集是什么？名师指津：借助函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，不等式的解集为{x|xα或xβ}．[思考2]若[思考1]中的a0，则不等式ax2＋bx＋c0的解集是什么？名师指津：解集为{x|αxβ}．[思考3]若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac0，则ax2＋bx＋c0的解集是什么？名师指津：当a0时，不等式的解集为R；当a0时，不等式的解集为∅.讲一讲1．解下列不等式：(链接教材P78－例1、例2)(1)2x2＋7x＋30；(2)x2－4x－5≤0；(3)－4x2＋18x－814≥0；(4)－12x2＋3x－50；(5)－2x2＋3x－20.[尝试解答](1)因为Δ＝72－4×2×3＝250，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－12.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为xx－12，或x－3.(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．(3)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94.(4)原不等式可化为x2－6x＋100，Δ＝(－6)2－40＝－40，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.(5)原不等式可化为2x2－3x＋20，因为Δ＝9－4×2×2＝－70，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．练一练1．解下列不等式：(1)x2－5x－60；(2)－x2＋7x6；(3)(2－x)(x＋3)0；(4)4(2x2－2x＋1)x(4－x)．解：(1)x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x－1或x6}．(2)原不等式可化为x2－7x＋60.解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为{x|1x6}．(3)原不等式可化为(x－2)(x＋3)0.方程(x－2)(x＋3)＝0两根为2和－3.结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x－3或x2}．(4)由原不等式得8x2－8x＋44x－x2.∴原不等式等价于9x2－12x＋40.解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝23.结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为xx≠23.讲一讲1．解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－10(a∈R)．[尝试解答]原不等式可化为：(ax＋1)(x－1)0，当a＝0时，x1；当a0时，x＋1a(x－1)0.∴－1ax1；当a＝－1时，x≠1；当－1a0时，x＋1a(x－1)0，∴x－1a或x1；当a－1时，－1a1，∴x1或x－1a，综上所述，原不等式的解集是：当a＝0时，{x|x1}；当a0时，x－1ax1；当a＝－1时，{x|x≠1}；当－1a0时，xx1或x－1a.当a－1时，xx－1a或x1.解含参数的一元二次不等式的一般步骤注：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．练一练2．解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a0.解：方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a－1时，原不等式解集为{x|ax－1}；当a＝－1时，原不等式解集为∅；当a－1时，原不等式解集为{x|－1xa}．[思考1]设一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)和ax2＋bx＋c0(a0)的解集分别为{x|xx1或xx2}，{x|x1xx2}(x1x2)，则x1＋x2，x1x2为何值？名师指津：x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.[思考2]由[思考1]的结论可知，不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集的端点与对应方程ax2＋bx＋c＝0的两根之间有什么关系？名师指津：不等式解集的端点值是相应方程的根．讲一讲3．已知关于x的不等式x2＋ax＋b0的解集为{x|1x2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋10的解集．[思路点拨]由根与系数的关系及不等式与方程根的关系求出a，b，解不等式．[尝试解答]∵x2＋ax＋b0的解集为{x|1x2}，∴1，2是x2＋ax＋b＝0的两根．由根与系数的关系得－a＝1＋2，b＝1×2，得a＝－3，b＝2，代入所求不等式，得2x2－3x＋10.由2x2－3x＋10⇔(2x－1)(x－1)0⇔x12或x1.∴bx2＋ax＋10的解集为－∞，12∪(1，＋∞)．三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：练一练3．若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是x－13≤x≤2，求不等式cx2＋bx＋a0的解集．解：法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为x－13≤x≤2知a0.又－13×2＝ca0，则c0.又－13，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴－ba＝53，∴ba＝－53.又ca＝－23，∴b＝－53a，c＝－23a.∴不等式变为－23ax2＋－53ax＋a0，即2ax2＋5ax－3a0.又∵a0，∴2x2＋5x－30，所求不等式的解集为x－3x12.法二：由已知得a0且－13＋2＝－ba，－13×2＝ca知c0，设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－bc，x1·x2＝ac，其中ac＝1－13×2＝－32，－bc＝－baca＝－13＋2－13×2＝1－13＋12＝－52，∴x1＝1－13＝－3，x2＝12，∴不等式cx2＋bx＋a0(c0)的解集为x－3x12.—————————[课堂归纳·感悟提升]————————1．本节课的重点一元二次不等式的解法及三个“二次”关系的应用．难点是解含参数的一元二次不等式，也是本节的易错点．2．本节课要重点掌握的规律方法．(1)解一元二次不等式的常见方法①图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：(ⅰ)化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c0(a0)，或ax2＋bx＋c0(a0)；(ⅱ)求方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；(ⅲ)由图象得出不等式的解集．②代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当mn时，若(x－m)(x－n)0，则可得xn或xm；若(x－m)(x－n)0，则可得mxn.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．(2)含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从以下三个方面进行考虑：①关于不等式类型的讨论：二次项系数a0，a0，a＝0.②关于不等式对应的方程根的讨论：二根(Δ0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ0)．③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1x2，x1＝x2，x1x2.