2019-2020学年高中数学 第三章 不等式 4.3 简单线性规划的应用课件 北师大版必修5

第三章不等式4．3简单线性规划的应用线性规划的实际应用问题电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？【解】(1)由已知，x，y满足的数学关系式为70x＋60y≤600，5x＋5y≥30，x≤2y，x≥0，y≥0，即7x＋6y≤60，x＋y≥6，x－2y≤0，x≥0，y≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分：(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－125x＋z25，这是斜率为－125，随z变化的一族平行直线.z25为直线在y轴上的截距，当z25取得最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图②可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距z25最大，即z最大．解方程组7x＋6y＝60，x－2y＝0，得点M的坐标为(6，3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．解答线性规划应用题的一般步骤(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺．(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题．(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．1.某养鸡场有1万只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养．每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg，其中动物饲料不能少于谷物饲料的15.动物饲料每千克0.9元，谷物饲料每千克0.28元，饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50000kg，问饲料怎样混合才使成本最低．解：设每周需用谷物饲料xkg，动物饲料ykg，每周总的饲料费用为z元，由题意得x＋y≥35000，y≥15x，0≤x≤50000，y≥0，而z＝0.28x＋0.9y.如图所示，作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，作一组平行直线0.28x＋0.9y＝z，其中经过可行域内的点且和原点最近的直线经过直线x＋y＝35000和直线y＝15x的交点A875003，175003，即x＝875003，y＝175003时，饲料费用最低．所以，谷物饲料和动物饲料应按5∶1的比例混合，此时成本最低．线性规划中的最优整数解问题某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元．已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时．问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数)【解】设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x件、y件，获取的利润为z百元，则z＝2x＋y，满足6x＋2y≤24，x＋y≤5，5y≤15，x，y∈N，作出可行域，如图中阴影的整点部分：由图可得O(0，0)，A(0，3)，B(2，3)，C72，32，D(4，0)．平移直线y＝－2x＋z，当直线过(3，2)或(4，0)时z有最大值．即工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造甲种家电4件，可获利最大．寻找整点最优解的三种方法(1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．(2)小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最大(小)值．(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．2.两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12毫克阿司匹林，70毫克小苏打，28毫克可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？成分种类阿司匹林小苏打可待因每片价格(元)A(毫克/片)2510.1B(毫克/片)1760.2解：设A，B两类药片分别为x片和y片(x，y∈N)，则有2x＋y≥12，5x＋7y≥70，x＋6y≥28，x≥0，y≥0，两类药片的总数为z＝x＋y，两类药片的价格和为k＝0.1x＋0.2y.作出可行域如图阴影部分所示，作直线l：x＋y＝0，将直线l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上一点A，且与原点最近．解方程组2x＋y＝12，5x＋7y＝70，得交点A坐标149，809.由于A不是整点，因此不是z的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝11，经过的整点是(1，10)，(2，9)，(3，8)，因此z的最小值为11.药片最小总数为11片．同理可得，当x＝3，y＝8时，k取最小值1.9，因此当A类药片3片、B类药片8片时，药片价格最低．规范解答线性规划实际应用问题(本题满分12分)某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：资金单位产品所需资金(百元)月资金供应量(百元)空调机洗衣机成本3020300劳动力工资510110单位利润68试问：怎样确定两种产品的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？【解】设生产空调机x台，洗衣机y台，则30x＋20y≤300，5x＋10y≤110，x，y∈N，即3x＋2y≤30，x＋2y≤22，x，y∈N，利润z＝6x＋8y.(4分)作出可行域如图阴影部分所示中的整点部分．(8分)由图可知当直线6x＋8y＝z经过可行域内点A时，z取最大值，由3x＋2y＝30，x＋2y＝22得x＝4，y＝9，(10分)此时zmax＝6×4＋8×9＝96(百元)．所以生产空调机4台，洗衣机9台时，可获最大利润9600元．(12分)易漏掉x，y∈N这一限定条件，失分点．可行域画图要准确无误，关键点．注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．1．有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，要运送最多的货物，若设需x辆6吨汽车，y辆4吨汽车，则完成这项运输任务的线性目标函数为()A．z＝6x＋4yB．z＝5x＋4yC．z＝x＋yD．z＝4x＋5y解析：选A.根据题意得运输货物的吨数为z＝6x＋4y，即目标函数z＝6x＋4y.2．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是________．解析：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z＝5x＋3y，且x≥0，y≥0，3x＋y≤13，2x＋3y≤18，联立3x＋y＝13，2x＋3y＝18，解得x＝3，y＝4.由图可知，最优解为P(3，4)．故z的最大值为z＝5×3＋3×4＝27(万元)．答案：27万元3．医院用甲、乙两种原料给手术后的病人配营养餐，甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质，试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？解：设甲、乙两种原料各用10xg、10yg，由题意，知所需费用为z＝3x＋2y，线性约束条件为5x＋7y≥35，10x＋4y≥40，x≥0，y≥0，画出可行域如图中阴影部分．作直线l0：3x＋2y＝0，则易知当l0平移至l位置时，z有最小值，此时l过点A.由5x＋7y＝35，10x＋4y＝40得A145，3.所以应用甲、乙原料分别为145×10＝28(g)，3×10＝30(g)时，费用最省．